Question

已知函數(shù)f（x）=log₃

x+1

ax-1

（a∈R）為奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f^-1（x）+log 

1

3

t存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）若不等式f（x）-m≥3^x在x∈[2，3]上恒成立，求實(shí)數(shù)m最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義建立方程，即可求a的值；
（2）求出函數(shù)g（x）=f^-1（x）+log 

1

3

t的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在的判斷條件，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）將不等式f（x）-m≥3^x在x∈[2，3]上恒成立，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)分離法，求函數(shù)的最值即可求實(shí)數(shù)m最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=log₃

x+1

ax-1

（a∈R）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），即f（-x）+f（x）=0，
即log₃

x+1

ax-1

+log₃

-x+1

-ax-1

=log₃

x2-1

a2x2-1

=0，
即

x2-1

a2x2-1

=1，即a²=1，a=±1；
當(dāng)a=1時(shí)，log₃

x+1

x-1

的奇函數(shù)，滿足條件．
當(dāng)a=-1時(shí)，log₃

x+1

-x-1

=log₃（-1）不成立，
故a=1．
（2）∵log₃

x+1

x-1

，∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞），
解得f^-1（x）=

3x+1

3x-1

，（x≠0），
∵函數(shù)g（x）=f^-1（x）+log 

1

3

t存在零點(diǎn)，
即f^-1（x）+log 

1

3

t=0有解，
即f^-1（x）=log₃t=

3x+1

3x-1

有解，
∵

3x+1

3x-1

=1+

2

3x-1

∈(-∞，-1)∪(1，+∞)，
∴l(xiāng)og₃t＜-1或log₃t＞1，
即0＜t＜

1

3

或t＞1，
即實(shí)數(shù)t的取值范圍是0＜t＜

1

3

或t＞1；
（3）若不等式f（x）-m≥3^x在x∈[2，3]上恒成立，
即m≤f（x）-3^x在x∈[2，3]上恒成立，
∵f（x）-3^x=log₃

x+1

x-1

-3^x=log₃（1+

2

x-1

）-3^x，在x∈[2，3]上單調(diào)遞減
∴[f（x）-3^x]_min=f（3）-3³=log₃2-27，
∴m≤=log₃2-27，
即實(shí)數(shù)m最大值是=log₃2-27．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及不等式恒成立問題，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．