Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n+1=2a_n，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）在數(shù)列{a_n}的每?jī)身?xiàng)之間都按照如下規(guī)則插入一些數(shù)后，構(gòu)成新數(shù)列：a_n和a_n+1兩項(xiàng)之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其公差記為d_n，求數(shù)列{

1

dn

}的前n項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出a₁=1，a_n=2a_n-1，由此能求出an=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an+1=2n，從而得到

1

dn

=

n+1

2n-1

，由此利用錯(cuò)位相減求和法能求出數(shù)列{

1

dn

}的前n項(xiàng)的和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）n=1時(shí)，s₁+1=2a₁，∴a₁=1，…（2分）
n≥2時(shí)，又s_n-1+1=2a_n-1，相減得a_n=2a_n-1，
∵{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
故an=2n-1…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an+1=2n，
∴2ⁿ=2^n-1+（n+1）d_n，∴dn=

2n-1

n+1

，∴

1

dn

=

n+1

2n-1

…（8分）
∴Tn=

2

20

+

3

21

+…+

n

2n-2

+

n+1

2n-1

，

1

2

Tn=

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

+

n+1

2n

，
兩式相減得：

1

2

Tn=2+

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n+1

2n

=2+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+1

2n

=2+1-

1

2n-1

-

n+1

2n

，…（10分）
∴Tn=6-

n+3

2n-1

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．