已知曲線C：x2-
y2
3
=1（x＞0），A（-1，0），F(xiàn)（2，0）
（1）設(shè)M為曲線C上x(chóng)軸上方任一點(diǎn)，求證：∠MFA=2∠MAF；
（2）若曲線C上存在兩點(diǎn)C，D關(guān)于直線l：y=-
1
2
x+b對(duì)稱，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，是否存在過(guò)C、A、D、F的圓，且該圓的半徑為
3
2
．如果存在，求出這個(gè)圓的方程；如果不存在，說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（1）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），則y02=3(
x
2
0
-1)．由于點(diǎn)M為x軸上方的一點(diǎn)，tan∠MAF=kMA，tan∠MFA=-kMF，由此由正切函數(shù)的性質(zhì)，能證明∠MFA=2∠MAF．
（2）設(shè)直線CD的方程為y=2x+m，代入x2-
y2
3
=1中，得x2+4mx+m2+3=0，由此利用根的判別式和韋達(dá)定理能求出b的取值范圍．
（3）法一：假如四點(diǎn)C、A、D、F共圓，圓心恰在x軸上，所以AF為外接圓的直徑，由雙曲線的對(duì)稱性，CD⊥AF，這與kCD=2不符，故假設(shè)錯(cuò)誤，所以四點(diǎn)C、A、D、F不可能共圓于半徑為
3
2
的圓．
（3）法二：假如四點(diǎn)C、A、D、F共圓，由圓的半徑為
3
2
，得b=
1
4
，與（2）的結(jié)論b＞4不符，故假設(shè)錯(cuò)誤，所以四點(diǎn)C、A、D、F不可能共圓于半徑為
3
2
的圓．
解答： （1）證明：設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），則有x02-
y
2
0
3
=1，即y02=3(
x
2
0
-1)．
由于點(diǎn)M為x軸上方的一點(diǎn)，tan∠MAF=kMA，
tan∠MFA=-kMF=
y0
2-x0
tan2∠MAF=
2tan∠MAF
1-tan2∠MAF
=
2kMA
1-kMA2

=
2
y0
x0+1
1-(
y0
x0+1
)2
=
2(x0+1)y0
(x0+1)2-y02

=
2(x0+1)y0
(x0+1)2-3(x02-1)
=
2y0
4-2x0
=
y0
2-x0
，
又∠MFA、2∠MAF∈（0，π），且由正切函數(shù)的性質(zhì)，有∠MFA=2∠MAF，
∴∠MFA=2∠MAF．…（5分）
（2）解：設(shè)直線CD的方程為y=2x+m，代入x2-
y2
3
=1中，
得x2+4mx+m2+3=0，（1）
由于方程（1）有兩不等正根，
設(shè)C、D的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），
則有
△=16m2-4(m2+3)＞0
x1+x2=-4m＞0
x1•x2=m2+3＞0
，解得m＜-1，
又∵線段CD的中點(diǎn)M（-2m，-3m）也在直線y=-
1
2
x+b上，
于是有-3m=m+b，b=-4m，∴b＞4．…（10分）
（3）解法一：假如四點(diǎn)C、A、D、F共圓，
則圓心在直線x=
1
2
及直線y=-
1
2
x+b上，圓心坐標(biāo)為(
1
2
，b-
1
4
)，
又由于圓的半徑為
3
2
，由
(
1
2
+1)2+(b-
1
4
)2
=
3
2
，得b=
1
4
，
從而圓心恰在x軸上，所以AF為外接圓的直徑，
∴∠ACF=90°，又由∠CFA=2∠CAF知
∠CAF=300
，同理∠DAF=30°，
由雙曲線的對(duì)稱性，CD⊥AF，這與kCD=2不符，故假設(shè)錯(cuò)誤，
∴四點(diǎn)C、A、D、F不可能共圓于半徑為
3
2
的圓．…（14分）
（3）解法二：假如四點(diǎn)C、A、D、F共圓，
則圓心在直線x=
1
2
及直線y=-
1
2
x+b上，圓心坐標(biāo)為(
1
2
，b-
1
4
)，
又由于圓的半徑為
3
2
，由
(
1
2
+1)2+(b-
1
4
)2
=
3
2
，得b=
1
4
，
與（2）的結(jié)論b＞4不符，故假設(shè)錯(cuò)誤，
∴四點(diǎn)C、A、D、F不可能共圓于半徑為
3
2
的圓．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角相等的證明，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查四點(diǎn)共圓的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意反證法的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a，b，c；asinAsinB+bcos2A=
2
a
（1）求
b
a
；
（2）若c=
3
，b=
2
，求cosB的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知扇形的圓心角為
π
4
，半徑為2
2
，則扇形的面積為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}，a1=1，an=n（an-1-an），遞減等比數(shù)列{bn}滿足：b2=
1
4
，其前三項(xiàng)和S2=
7
8
．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{an•bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn+an•bn+4bn2的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

△ABC中內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且2acosC=2b-c．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）如果a=1，求b+c的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C1，拋物線C2的焦點(diǎn)均在y軸上，C1的中心和C2的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O，從每條曲線上取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：
x0-1
2
4
y-2
2
1
16
-21
（1）求C1，C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)斜率不為0的動(dòng)直線l與C1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與C2的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q，試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足cos2A-cos2B=cos（
π
6
-A）cos（
π
6
+A）．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若b=1，且b＜a，求a+c的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

圖中的三個(gè)正方形塊中，著色的正方形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}的前3項(xiàng)，根據(jù)著色的規(guī)律，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)an=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)A（-5，0），B（-1，-3），若圓x2+y2=r2（r＞0）上恰有兩點(diǎn)M，N，使得△MAB和△NAB的面積均為5，則r的取值范圍是
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案