Question

設(shè)f(x)=lnx+

a

x2

．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判斷條件即可求f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答： （1）解：f（x）的定義域是（0，+∞）（1分）
當(dāng)a=1時(shí)，∵f′(x)=

1

x

-

1

x3

=

x2-1

x3

=

(x-1)(x+1)

x3

（2分）
令f'（x）=0，x=±1，（負(fù)舍去）                                   （3分）
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0（4分）
所以（0，1）是f（x）的減區(qū)間，（1，+∞）是f（x）的增區(qū)間                   （5分）
所以f（x）的減區(qū)間是（0，1），f（x）的增區(qū)間是（1，+∞）．                  （6分）
（2）f（x）的定義域是（0，+∞），∵f′(x)=

1

x

-

a

x3

=

x2-a

x3

（7分）
當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，當(dāng)a=0時(shí)有零點(diǎn)x=1，（8分）
當(dāng)a＜0時(shí)，f（e^a）=a（e^2a+1）＜0，f（e^-a）=a（1-e^-2a）＞0，（9分）
（或當(dāng)x→+0時(shí)，f（x）→-∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，）
所以f（x）在（0，+∞）上有一個(gè)零點(diǎn)，（10分）
當(dāng)a＞0時(shí)，由（1）f（x）在(0，

a

)上是減函數(shù)，f（x）在(

a

，+∞)上是增函數(shù)，所以當(dāng)x=

a

是，f（x）有極小值，即最小值f(

a

)=

1

2

(lna+1)．                     （11分）
當(dāng)

1

2

(lna+1)＞0，即a＞

1

e

時(shí)f（x）無(wú)零點(diǎn)，
當(dāng)

1

2

(lna+1)=0，即a=

1

e

時(shí)f（x）有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)

1

2

(lna+1)＜0，即0＜a＜

1

e

時(shí)f（x） 有2個(gè)零點(diǎn)．                    （13分）
綜合：當(dāng)a＞

1

e

時(shí)f（x）無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)a=

1

e

時(shí)f（x）有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)0＜a＜

1

e

時(shí)f（x） 有2個(gè)零點(diǎn)．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的判斷以及函數(shù)單調(diào)性的判斷，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．