Question

20．已知函數(shù)$f（x）=\frac{sinx}{x}$，在下列四個命題中：
①f（x）是奇函數(shù)；
②對定義域內(nèi)任意x，f（x）＜1恒成立；
③當(dāng)$x=\frac{3π}{2}$時，f（x）取極小值；
④f（2）＞f（3），
正確的是：②④．

Answer 1

分析 判斷出函數(shù)的奇偶性，可判斷①，求出函數(shù)的值域，可判斷②；判斷出函數(shù)的極值點，可判斷③；利用函數(shù)的單調(diào)性，比較兩個函數(shù)值，可判斷④．

解答 解：①∵函數(shù)$f（x）=\frac{sinx}{x}$，
∴$f（-x）=\frac{sin（-x）}{-x}$=$\frac{-sinx}{-x}$=$\frac{sinx}{x}$=f（x），
故f（x）是偶函數(shù)，故①錯誤；
②∵根據(jù)三角函數(shù)線的定義知|sinx|≤|x|，
∴$\frac{\left|sinx\right|}{\left|x\right|}$≤1，
∵x≠0，
∴$\frac{sinx}{x}$＜1成立，故②正確；
③∵f′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$，
∵f′（$\frac{3π}{2}$）=$\frac{4}{9{π}^{2}}$≠0，
∴x=$\frac{3π}{2}$ 不是極值點，
∴③錯誤；
④∵$\frac{π}{2}$＜2＜3＜π，
∴sin2＞sin3＞0，
∴$\frac{sin2}{2}$＞$\frac{sin3}{3}$，∴④正確，
故答案為：②④．

點評 本題以命題的真假判斷為載體考查了三角函數(shù)的奇偶性，值域，極值，單調(diào)性是三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度較大．