Question

已知動點P到定點F（1，0）的距離比到定直線x+2=0的距離少1．
（1）求動點P的軌跡Γ的方程；
（2）設A（橫坐標大于1）、B（縱坐標大于0）為軌跡Γ上的相異兩點，問是否存在實數(shù)λ，使得

AB

=λ

AF

且|AB|=

16

3

，若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件得動點P是以F（1，0）為焦點，x=-1為準線的拋物線，由此能求出動點P的軌跡Γ的方程．
（2）假設存在實數(shù)λ，使得

AB

=λ

AF

，且|AB|=

16

3

，由

AB

=λ

AF

，知A，F(xiàn)，B三點共線，當直線AB斜率不存在時，|AB|=4＜

16

3

；當直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為y=k（x-1），代入y²=4x，得：k²x²-2（k²+2）x+k²=0，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能求出λ的值．

解答： 解：（1）根據(jù)題意知，動點P到定點F（1，0）的距離等于到直線x+1的距離，
∴動點P是以F（1，0）為焦點，x=-1為準線的拋物線，
∴p=2，動點P的軌跡Γ的方程為y²=4x．
（2）假設存在實數(shù)λ，使得

AB

=λ

AF

，且|AB|=

16

3

，
由

AB

=λ

AF

，知A，F(xiàn)，B三點共線，
當直線AB斜率不存在時，有A（1，2），B（1，-2），|AB|=4＜

16

3

，
當直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為y=k（x-1），
代入y²=4x，得：
k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
當k=0時，方程只有一解，與題意不符，舍去，
當k≠0時，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

2(k2+2)

k2

，x₁x₂=1，
∴|AB|=x1+x2+2=

2(k2+2)

k2

+2=4+

4

k2

=

16

3

，
解得k=±

3

，
∵x₁＞1，y₁＞0，∴k=

3

，
∴x₁=3，x2=

1

3

，∴λ=

x2-x1

xF-x1

=

4

3

，即?實數(shù)λ，使得

AB

=λ

AF

且|AB|=

16

3

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查λ的值的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．