Question

已知數列{a_n}的各項均為正數，S_n為其前n項和，對于任意n∈N^*，滿足關系S_n=2a_n-2．
（Ⅰ）證明：{a_n}是等比數列；
（Ⅱ）令b_n=log₂a_n，求數列{

1

bnbn+1

}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）數列{a_n}的各項均為正數，S_n為其前n項和，S_n=2a_n-2，可以推出S_n+1=2a_n+1-2，兩式相減，從而進行證明；
（Ⅱ）根據第一問把a_n代入b_n=log₂a_n，已知數列{

1

bnbn+1

}的前n項和T_n，根據裂項法求出前n項和T_n；

解答： 證明：∵S_n=2a_n-2，（n∈N^*）  ①
∴S_n+1=2a_n+1-2，（n∈N^*）  ②
②-①，得a_n+1=2a_n+1-2a_n（n∈N^*）
∵a_n≠0，
∴

an+1

an

=2，（n∈N^*）
故數列{a_n}是等比數列；                      …（6分）
（2）∵S_n=2a_n-2，
∴a₁=2a₁-2，
∴a₁=2
由（1）an=a12n-1=2n，
b_n=log₂a_n=n，
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

，
T_n=

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

…（12分）

點評：此題主要考查等比數列的性質及其應用，第二問難度有些大，利用裂項法進行求和，這是數列求和常用的方法，此題是一道中檔題；