【題目】已知橢圓：的一個焦點與拋物線的焦點重合，點在 上

（Ⅰ）求 的方程；

（Ⅱ）直線不過原點O且不平行于坐標軸，與有兩個交點，線段的中點為，證明：的斜率與直線的斜率的乘積為定值.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求得拋物線的焦點，可得c=2，再由點滿足橢圓方程，結合a，b，c的關系，解方程可得橢圓的方程；（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+b（k，b≠0），A，B，代入橢圓方程，運用韋達定理和中點坐標公式可得M的坐標，可得直線OM的斜率，進而得到證明

試題解析：（Ⅰ）拋物線的焦點為（2，0），由題意可得c=2，即，

又點在上，可得解得

即有橢圓C：…………………………5分

（Ⅱ）證明：設直線的方程為（≠0），，，…………6分

將直線代入橢圓方程，可得

,…………………………8分

即有AB的中點M的橫坐標為，縱坐標為…………10分

直線OM的斜率為即有

故OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.…………………………12分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)f(x)和g(x)滿足：①在區(qū)間[a，b]上均有定義；②函數(shù)y＝f(x)－g(x)在區(qū)間[a，b]上至少有一個零點，則稱f(x)和g(x)在[a，b]上具有關系G．

（1）若f(x)＝lgx，g(x)＝3－x，試判斷f(x)和g(x)在[1，4]上是否具有關系G，并說明理由；

（2）若f(x)＝2|x－2|＋1和g(x)＝mx2在[1，4]上具有關系G，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若關于的方程在區(qū)間上有兩個不同的解．

（ⅰ）求的取值范圍；

（ⅱ）若，求的取值范圍；

（2）設函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為，求的表達式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平行四邊形中，，四邊形為直角梯形，∥,，, 平面平面.

(1)求證：；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，點E為正方形ABCD邊CD上異于點C，D的動點，將△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，則下列三個說法中正確的個數(shù)是（ ）

①存在點E使得直線SA⊥平面SBC

②平面SBC內存在直線與SA平行

③平面ABCE內存在直線與平面SAE平行

A．0 B．1 C．2 D．3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】拋物線的頂點為坐標原點O，焦點F在軸正半軸上，準線與圓相切.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）已知直線和拋物線交于點，命題：“若直線過定點（0，1），則 ”，

請判斷命題的真假，并證明.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設數(shù)列的前項和為，點均在函數(shù)的圖象上.

(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

(2)設是數(shù)列的前項和，求使對所有都成立的最小正整數(shù).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了解某地參加2015 年夏令營的名學生的身體健康情況，將學生編號為，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為的樣本，且抽到的最小號碼為，已知這名學生分住在三個營區(qū)，從到在第一營區(qū)，從到在第二營區(qū)，從到在第三營區(qū)，則第一、第二、第三營區(qū)被抽中的人數(shù)分別為（ ）

A． B．

C． D．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知中心在坐標原點的橢圓經(jīng)過點，且點為其右焦點.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）是否存在平行于的直線，使得直線與橢圓有公共點，且直線與的距離等于4？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

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