【題目】已知四棱錐P﹣ABCD,底面ABCD為正方形,側(cè)面PAD為直角三角形,且PA=PD,面PAD⊥面ABCD,E、F分別為AB、PD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:EF∥面PBC;
(Ⅱ)求證:AP⊥面PCD.

【答案】證明:(I)法1:取PC中點(diǎn)G,連接FG、BG

因?yàn)镕、G分別為PD、PC的中點(diǎn),

所以FG∥CD且 ;

因?yàn)锳BCD為正方形,所以BE∥CD,

又因?yàn)镋為AB中點(diǎn),所以 ,

所以BE∥FG,且BE=FG,

所以BEFG為平行四邊形,所以EF∥BG;

因?yàn)镋F面PBC,BG面PBC,

所以EF∥面PBC

法2:取CD中點(diǎn)H,連接FH,EH,

因?yàn)镕,H分別為PD、CD的中點(diǎn),

所以FH∥PC,EH∥BC;

又FH平面EFH,EH平面EFH,PC面PBC,BC面PBC,

且FH∩EH=H,

所以平面EFH∥平面PBC,

又因?yàn)镋F平面EFH,

所以EF∥面PBC;

(II)因?yàn)锳BCD為正方形,

所以CD⊥AD,

面PAD⊥面ABCD且AD為交線,

所以CD⊥面PAD,

AP面PAD,所以CD⊥AP,

PAD為直角三角形,且PA=PD,

所以PD⊥AP,

又CD∩PD=D,

所以,AP⊥面PCD;


【解析】(I)法1:取PC中點(diǎn)G,連接FG、BG,可得BE∥CD,又 ,可得BEFG為平行四邊形,即證明EF∥BG,進(jìn)而判定EF∥面PBC;法2:取CD中點(diǎn)H,連接FH,EH,通過證明平面EFH∥平面PBC,進(jìn)而判定EF∥面PBC.(II)利用線面垂直的性質(zhì)可得CD⊥AP,進(jìn)而證明PD⊥AP,即可證明線面垂直.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行),還要掌握直線與平面垂直的判定(一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.

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