Question

【題目】已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù).

(1)討論函數(shù)的零點個數(shù)；

(2)若函數(shù)的定義域內(nèi)不單調(diào)且在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】試題分析：

(1)原問題等價于函數(shù)和圖象的交點的個數(shù)，分類討論可得：時，無零點；或時，有一個零點；時，有兩個零點.

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論，利用導(dǎo)函數(shù)列表分類討論函數(shù)的單調(diào)性可得實數(shù)的取值范圍是.

試題解析：

(1)，

令得即，所以函數(shù)的零點個數(shù)等價于兩函數(shù)和圖象的交點的個數(shù)，

設(shè)兩者相切時切點為，則由且，

得.

由圖可知時，兩函數(shù)圖象無交點，無零點；

<>或時，兩函數(shù)圖象有一個交點，有一個零點；

時，兩函數(shù)圖象有兩個交點，有兩個零點.

解法二：，

令得即，所以，所以函數(shù)的零點個數(shù)等價于兩函數(shù)與的交點個數(shù).

因為，

所以時，，遞增；時，，遞減且，

時，有極大值，

如圖所示，由圖可知，兩函數(shù)圖象無交點，無零點；

或時，兩函數(shù)圖象有一個交點，有一個零點；

時，兩函數(shù)圖象有兩個交點，有兩個零點.

解法三：直接由的導(dǎo)函數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性及零點，因為函數(shù)取正值或負(fù)值時的特殊值不易找，請謹(jǐn)慎處理，如果僅僅交代單調(diào)性而不說明零點存在定理的條件(即)中的的、或者只用限說明的，要酌情扣分。

(2)解法1：由(1)知時，無零點或一個零點，，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)時，.

在上單調(diào)遞減時，，即，亦等價于時，，

.

①當(dāng)時，，遞增，不合題意；

②當(dāng)時，，此時，遞減，

時，，由得，解得，

所以；

③當(dāng)時，，時，由表可知時，取最大值，最大值為，不合題意.

	正	0	負(fù)
	增	極大值	減

綜上可知.

解法二：由(1)知時，無零點或一個零點，，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)時，.

在上單調(diào)遞減時，，即恒成立；

由得，令，則恒成立，

因為，所以時，單調(diào)遞減，

，由恒成立得，解得.

綜上可得.