Question

數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2，對(duì)n∈N^*，恒有a_n•a_n+1=2×4ⁿ成立．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=a_6n-5+a_6n-3+a_6n-1，求數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由遞推公式，求出{a_n}的通項(xiàng)公式，從而證明等比數(shù)列；
（2）由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求出S_n．

解答： 解：（1）證明：a₁=2，又a₁•a₂=2×4=8，得a₂=4，
∵an•an+1=2×4n，∴an+1•an+2=2×4n+1，
兩式相除得

an+2

an

=4，知數(shù)列{a_n}奇數(shù)項(xiàng)成等比，首項(xiàng)a₁=2，公比q=4，
∴n為奇數(shù)時(shí)，an=a1×4

n-1

2

=2n，
當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)，則n+1為偶數(shù)，由an•an+1=2×4n得2n•an+1=2×4n，an+1=2n+1，
∴對(duì)n∈N^*，恒有an=2n，

an+1

an

=

2n+1

2n

=2（定值），故數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）S_n=b₁+b₂+…+b_n=（a₁+a₃+a₅）+（a₇+a₉+a₁₁）+…+（a_6n-5+a_6n-3+a_6n-1），
數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和S_n即是數(shù)列{a_n}奇數(shù)項(xiàng)和（共3n項(xiàng)），
則S_n=

2(1-43n)

1-4

=

2

3

(26n-1)．

點(diǎn)評(píng)：由遞推公式求通項(xiàng)公式，需要根據(jù)遞推公式的特點(diǎn)，進(jìn)行適當(dāng)變形，還考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，這些都是�？碱}．屬于中檔題．