Question

4．下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)的是（　�。�

• A． $f（x）=\frac{1}{x}$
• B． $f（x）=\sqrt{-x}$
• C． f（x）=2^-x-2^x
• D． $f（x）={log_{\frac{1}{2}}}|x|$

Answer 1

分析 根據(jù)反比例函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，奇函數(shù)定義域的特點(diǎn)，以及奇函數(shù)的定義，函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤，從而找出正確選項(xiàng)．

解答 解：A．反比例函數(shù)$f（x）=\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)沒(méi)有單調(diào)性；
B．f（x）定義域?yàn)閧x|x≤0}，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不是奇函數(shù)；
C．f（x）定義域?yàn)镽，f（-x）=2^x-2^-x=-f（x）；
∴該函數(shù)為奇函數(shù)；
f′（x）=-2^-xln2-2^xln2＜0；
∴該函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)；
∴該選項(xiàng)正確；
D．f（-x）=f（x）；
∴該函數(shù)不是奇函數(shù)．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 考查反比例函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，奇函數(shù)定義域的特點(diǎn)，奇函數(shù)的定義，以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系．