Question

4．已知實數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≤x}\\{2x+y-9≤0}\end{array}\right.$時，所表示的平面區(qū)域為D，則z=x+3y的最大值等于12，若直線y=a（x+1）與區(qū)域D有公共點，則a的取值范圍是a$≤\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案；再由直線y=a（x+1）過定點（-1，0），結(jié)合圖象求得a的取值范圍．

解答 解：由約束條件作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{2x+y-9=0}\end{array}\right.$，解得A（3，3），
化目標函數(shù)z=x+3y為$y=-\frac{x}{3}+\frac{z}{3}$，
由圖可知，當(dāng)直線$y=-\frac{x}{3}+\frac{z}{3}$過A（3，3）時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為12；
∵直線y=a（x+1）過定點（-1，0），要使直線y=a（x+1）與區(qū)域D有公共點，
則a≤k_MA=$\frac{3-0}{3-（-1）}=\frac{3}{4}$．
故答案為：12；$a≤\frac{3}{4}$．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．