【題目】已知a R, a0,函數(shù) f (x) eax1 ax ,其中常數(shù)e .

1)求 f (x) 的最小值;

2)當a 1時,求證:對任意 x0 ,都有 xf (x) 2ln x 1 ax2.

【答案】(1)0;(2)證明見詳解.

【解析】

1)求導,對函數(shù)的單調(diào)性進行討論,從而求得最小值;

2)將不等式恒成問題,進行轉(zhuǎn)換,結合(1)中的結論,構造新的函數(shù),將問題轉(zhuǎn)換為最值的問題即可.

1)因為,則,

R上的增函數(shù),令,解得

故當單調(diào)遞減;

,單調(diào)遞增,

故函數(shù)的最小值為0.

2)證明:要證明xf (x) 2ln x 1

等價于證明

由(1)可知:,即

因為,故

故等價于證明

,即證恒成立.

,解得

故當,單調(diào)遞減;

,單調(diào)遞增;

有因為,故

即證.

即對任意 x0 ,都有 xf (x) 2ln x 1 ax2.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

(1)當時,求不等式的解集;

(2)若,且對任意,恒成立,求的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某游戲公司對今年新開發(fā)的一些游戲進行評測,為了了解玩家對游戲的體驗感,研究人員隨機調(diào)查了300名玩家,對他們的游戲體驗感進行測評,并將所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖所示,其中.

1)求這300名玩家測評分數(shù)的平均數(shù);

2)由于該公司近年來生產(chǎn)的游戲體驗感較差,公司計劃聘請3位游戲?qū)<覍τ螒蜻M行初測,如果3人中有2人或3人認為游戲需要改進,則公司將回收該款游戲進行改進;若3人中僅1人認為游戲需要改進,則公司將另外聘請2位專家二測,二測時,2人中至少有1人認為游戲需要改進的話,公司則將對該款游戲進行回收改進.已知該公司每款游戲被每位專家認為需要改進的概率為,且每款游戲之間改進與否相互獨立.

i)對該公司的任意一款游戲進行檢測,求該款游戲需要改進的概率;

ii)每款游戲聘請專家測試的費用均為300/人,今年所有游戲的研發(fā)總費用為50萬元,現(xiàn)對該公司今年研發(fā)的600款游戲都進行檢測,假設公司的預算為110萬元,判斷這600款游戲所需的最高費用是否超過預算,并通過計算說明.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列各項均為正數(shù),為其前項的和,且成等差數(shù)列.

1)寫出、、的值,并猜想數(shù)列的通項公式;

2)證明(1)中的猜想;

3)設為數(shù)列的前項和.若對于任意,都有,求實數(shù)的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某校實行選科走班制度,張毅同學的選擇是物理生物政治這三科,且物理在 A 層班級,生物在 B 層班級,該校周一上午課程安排如下表所示,張毅選擇三個科目的課各上一節(jié), 另外一節(jié)上自習,則他不同的選課方法有(

第一節(jié)

第二節(jié)

第三節(jié)

第四節(jié)

地理 B 2

化學 A 3

地理 A 1

化學 A 4

生物 A 1

化學 B 2

生物 B 2

歷史 B 1

物理 A 1

生物 A 3

物理 A 2

生物 A 4

物理 B 2

生物 B 1

物理 B 1

物理 A 4

政治 1

物理 A 3

政治 2

政治 3

A.8 B.10 C.12 D.14

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某公司租賃甲、乙兩種設備生產(chǎn)A,B兩類產(chǎn)品,甲種設備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品5件和B類產(chǎn)品10,乙種設備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品6件和B類產(chǎn)品20件.已知設備甲每天的租賃費為200,設備乙每天的租賃費為300,現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)A類產(chǎn)品50,B類產(chǎn)品140,所需租賃費最少為__________元.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,四棱錐,,,為等邊三角形,平面平面,中點.

(1)求證:平面

(2)求二面角的余弦值.

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【題目】已知函數(shù)滿足,若在區(qū)間內(nèi)關于的方程恰有4個不同的實數(shù)解,則實數(shù)的取值范圍是___________.

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【題目】某學校為了解學生假期參與志愿服務活動的情況,隨機調(diào)查了名男生,名女生,得到他們一周參與志愿服務活動時間的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如右表(單位:人):

超過小時

不超過小時

1)能否有的把握認為該校學生一周參與志愿服務活動時間是否超過小時與性別有關?

(2)以這名學生參與志愿服務活動時間超過小時的頻率作為該事件發(fā)生的概率,現(xiàn)從該校學生中隨機抽查名學生,試估計這名學生中一周參與志愿服務活動時間超過小時的人數(shù).

附:

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