Question

在數(shù)列{a_n}中，a_n=

1

n

（n∈N^*）．從數(shù)列{a_n}中選出k（k≥3）項(xiàng)并按原順序組成的新數(shù)列記為{b_n}，并稱{b_n}為數(shù)列{a_n}的k項(xiàng)子列．例如數(shù)列

1

2

，

1

3

，

1

5

，

1

8

為{a_n}的一個(gè)4項(xiàng)子列．
（Ⅰ）試寫出數(shù)列{a_n}的一個(gè)3項(xiàng)子列，并使其為等比數(shù)列；
（Ⅱ）如果{b_n}為數(shù)列{a_n}的一個(gè)5項(xiàng)子列，且{b_n}為等差數(shù)列，證明：{b_n}的公差d滿足-

1

4

＜d＜0；
（Ⅲ）如果{c_n}為數(shù)列{a_n}的一個(gè)6項(xiàng)子列，且{c_n}為等比數(shù)列，證明：c₁+c₂+c₃+c₄+c₅+c₆≤

63

32

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的應(yīng)用,等比關(guān)系的確定

專題：閱讀型,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由a_n=

1

n

（n∈N^*），及等比數(shù)列的定義寫出一個(gè)即可；
（Ⅱ）由a_n=

1

n

（n∈N^*）得數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列，故有題意可得{b_n}為遞減等差數(shù)列，可求得d=b₂-b₁＜0，又 b₅=b₁+4d，b₁≤1，b₅＞0，即可證明結(jié)論；
（Ⅲ）利用等比數(shù)列的定義得 c1+c2+c 3+c4+c5+c6=c1(1+q+q2+q3+q4+q5)，設(shè)c1=

1

a

≤1 (a∈N*)，q=

K

L

(K，L∈N*，分類討論再結(jié)合不等式進(jìn)行放縮得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）解：答案不唯一．如3項(xiàng)子列：

1

2

，

1

4

，

1

8

．…（2分）
（Ⅱ）證明：由題意，知1≥b₁＞b₂＞b₃＞b₄＞b₅＞0，
所以 d=b₂-b₁＜0．…（4分）
因?yàn)?nbsp;b₅=b₁+4d，b₁≤1，b₅＞0，
所以 4d=b₅-b₁＞0-1=-1，
解得 d＞-

1

4

．
所以-

1

4

＜d＜0．…（7分）
（Ⅲ）證明：由題意，設(shè){c_n}的公比為q，
則 c1+c2+c 3+c4+c5+c6=c1(1+q+q2+q3+q4+q5)．
因?yàn)閧c_n}為{a_n}的一個(gè)6項(xiàng)子列，
所以 q為正有理數(shù)，且q＜1，c1=

1

a

≤1 (a∈N*)．…（8分）
設(shè) q=

K

L

(K，L∈N*，且K，L互質(zhì)，L≥2）．
當(dāng)K=1時(shí)，
因?yàn)?nbsp;q=

1

L

≤

1

2

，
所以 c1+c2+c 3+c4+c5+c6=c1(1+q+q2+q3+q4+q5)≤1+

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+(

1

2

)4+(

1

2

)5，
所以 c1+c2+c 3+c4+c5+c6≤

63

32

．…（10分）
當(dāng)K≠1時(shí)，
因?yàn)?nbsp;c6=c1q5=

1

a

×

K5

L5

是{a_n}中的項(xiàng)，且K，L互質(zhì)，
所以 a=K⁵×M（M∈N^*），
所以 c1+c2+c 3+c4+c5+c6=c1(1+q+q2+q3+q4+q5)=

1

M

(

1

K5

+

1

K4L

+

1

K3L2

+

1

K2L3

+

1

KL4

+

1

L5

)．
因?yàn)?nbsp;L≥2，K，M∈N^*，
所以 c1+c2+c 3+c4+c5+c6≤1+

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+(

1

2

)4+(

1

2

)5=

63

32

．
綜上，c1+c2+c 3+c4+c5+c6≤

63

32

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生閱讀知識(shí)并運(yùn)用知識(shí)的能力，以及利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)分析問題，解決問題的能力，屬難題．