Question

已知f（x）=8x²-6kx+（2k+1）
（1）若f（x）=0的兩根分別為某三角形兩內(nèi)角的正弦值，求k的取值范圍；
（2）問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)k，使得f（x）=0的兩根是直角三角形兩個(gè)銳角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）通過(guò)f（x）=0的兩根分別為某三角形兩內(nèi)角的正弦值，利用二次函數(shù)根的分布列出關(guān)系式，求k的取值范圍；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得f（x）=0的兩根是直角三角形兩個(gè)銳角的正弦值．然后利用利用韋達(dá)定理求出k的值，然后判斷即可．

解答： 解：（1）設(shè)兩根為x₁，x₂．f（x）=8x²-6kx+（2k+1）
f（x）=0的兩根分別為某三角形兩內(nèi)角的正弦值，
則要滿足：

△≥0 f(0)＞0 f(1)≥0 0＜ 3k 8 ≤1

，即：

36k2-32(2k+1)≥0 2k+1＞0 8-6k+2k+1≥0 0＜ 3k 8 ≤1

⇒

k≤ 8-2 34 9 ＜0或k≥ 8+2 34 9 k＞- 1 2 k≤ 9 4 0＜k≤ 8 3

解得：k∈∅．
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得f（x）=0的兩根是直角三角形兩個(gè)銳角A、B的正弦值，
則A+B=90°，sinA=cosB，
∵sin²A+cos²A=1，
∴x₁²+x₂²=1，
∵x₁+x₂=

6k

8

，x1•x2=

2k+1

8

∴(

3k

4

)2-2×

2k+1

8

=1
∴k=2或-

10

9

.

當(dāng)k=2時(shí)，原方程為：8x²-12x+5=0，△＜0，不合題意．
當(dāng)k=-

10

9

時(shí)，原方程為：8x2+

20

3

x-

11

9

=0，x₁•x₂＜0，不合題意．
綜上，不存在實(shí)數(shù)k，使得f（x）=0的兩根是直角三角形兩個(gè)銳角的正弦值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，根的分布以及韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．