Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂和上下兩個(gè)頂點(diǎn)B₁，B₂是一個(gè)邊長(zhǎng)為2且∠F₁B₁F₂為60°的菱形的四個(gè)頂點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)右焦點(diǎn)F₂，斜率為k（k≠0）的直線(xiàn)l與橢圓C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，A為橢圓的右頂點(diǎn)，直線(xiàn)AE，AF分別交直線(xiàn)x=3于點(diǎn)M，N，線(xiàn)段MN的中點(diǎn)為P，記直線(xiàn)PF₂的斜率為k′．試問(wèn)：k•k′是否為定值？若為定值請(qǐng)求出；若不為定值請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出a=2，b=

3

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（1，0）的直線(xiàn)l的方程為：y=k（x-1），設(shè)點(diǎn)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），將直線(xiàn)l方程y=k（x-1）代入橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1，得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，點(diǎn)P在橢圓內(nèi)，△＞0恒成立，直線(xiàn)AE的方程為y=

y1

x1-2

(x-2)，直線(xiàn)AF的方程為y=

y2

x2-2

(x-2)，由此利用韋達(dá)定理、直線(xiàn)的斜率公式結(jié)合已知條件推導(dǎo)出k•k′=-

3

4

．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂和上下兩個(gè)頂點(diǎn)B₁，B₂是一個(gè)邊長(zhǎng)為2且∠F₁B₁F₂為60°的菱形的四個(gè)頂點(diǎn)．
∴a=2，b=

3

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（1，0）的直線(xiàn)l的方程為：y=k（x-1），
設(shè)點(diǎn)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
將直線(xiàn)l方程y=k（x-1）代入橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1，
整理，得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
∵點(diǎn)P在橢圓內(nèi)，∴直線(xiàn)l與橢圓相交，△＞0恒成立，
且x₁+x₂=

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

，
直線(xiàn)AE的方程為y=

y1

x1-2

(x-2)，直線(xiàn)AF的方程為y=

y2

x2-2

(x-2)，
令x=3，得M（3，

y1

x1-2

），N（3，

y2

x2-2

），
∴P（3，

1

2

（

y1

x1-2

+

y2

x2-2

）），
直線(xiàn)PF₂的斜率為k′=

1 2 ( y1 x1-2 + y2 x2-2 )

3-1

=

1

4

(

y1

x1-2

+

y2

x2-2

)=

1

4

•

y2x1+x2y1-2(y1+y2)

x1x2-2(x1+x2)+4

=

1

4

•

2kx1x2-3k(x1+x2)+4k

x1x2-2(x1+x2)+4

，
將x1+x2=

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

代入上式，得：
k′=

1

4

•

2k• 4k2-12 4k2+3 -3k• 8k2 4k2+3 +4k

4k2-12 4k2+3 -2• 8k2 4k2+3 +4

=-

3

4k

，
∴k•k′=-

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查兩直線(xiàn)斜率之積是否為定值的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．