Question

已知數(shù)列

1

1×2

，

1

2×3

，

1

3×4

，…，

1

n(n+1)

，…S_n為其前n項和．
（1）計算S₁，S₂，S₃，由此推測計算S_n的公式．
（2）用數(shù)學歸納法證明你所得的結論．

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法,歸納推理

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）S₁=1-

1

2

=

1

2

，S₂=1-

1

3

=

2

3

，S₃=1-

1

4

=

3

4

，猜想：S_n=1-

1

n+1

；
（2）利用歸納法進行證明，檢驗n=1時等式成立，假設n=k時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立．

解答： 解：（1）S₁=1-

1

2

=

1

2

，S₂=1-

1

3

=

2

3

，S₃=1-

1

4

=

3

4

，猜想：S_n=1-

1

n+1

．
（2）下面用數(shù)學歸納法加以證明：①n=1時，S₁=1-

1

2

=

1

2

，成立；
②假設n=k時，猜想成立，即S_k=1-

1

k+1

，
則n=k+1時，S_k+1=1-

1

k+1

+

1

(k+1)(k+2)

=1-

1

k+1

+

1

k+1

-

1

k+2

=1-

1

k+2

，
∴n=k+1時猜想也成立
根據(jù)①②可知猜想對任何n∈N^*都成立．

點評：本題考查歸納推理，用數(shù)學歸納法證明等式，證明故當n=k+1時，猜想也成立，是解題的難點和關鍵．