Question

已知圓C：x²+y²+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0交于P，Q兩點(diǎn)，以PQ為直徑的圓經(jīng)過圓點(diǎn)，求圓C的圓心和半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：把圓的方程和直線的方程聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理，再根據(jù)

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=0，求得m的值，可得圓C的圓心和半徑．

解答： 解：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題意可得OP⊥OQ，即

OP

•

OQ

=0．
由

x+2y-3=0 x2+y2+x-6y+m=0

可得：5x²+2x+4m-27=0，∴x₁+x₂=-2，x₁•x₂=

4m-27

5

．
再根據(jù)

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+

1

4

（3-x₁）（3-x₂）=

5

4

 x₁x₂-

3

4

（x₁+x₂）+

9

4

=0，
結(jié)合前面根與系數(shù)關(guān)系表達(dá)式，代入得：

5

4

•

4m-27

5

+

3

2

+

9

4

=0，解之得m=3．
故圓C：x²+y²+x-6y+3=0 即 (x-

1

2

)2+（y-3）²=

25

4

，故圓心為（

1

2

，3），半徑為

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出直線與圓相交于點(diǎn)P、Q，并且以PQ為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，求參數(shù)的值．著重考查了直線方程、圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．