Question

在平面直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為

x=2-3sinα y=3cosα-2

，（其中α為參數(shù)，α∈R），在極坐標系（以坐標原點0為極點，以x軸非負半軸為極軸）中，曲線C₂的極坐標方程為ρcos（θ-

π

4

）=a．
（Ⅰ）把曲線C₁和C₂的方程化為直角坐標方程；
（Ⅱ）若曲線C₁上恰有三個點到曲線C₂的距離為

3

2

，求曲線C₂的直角坐標方程．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程,點的極坐標和直角坐標的互化

專題：選作題,坐標系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）把圓的參數(shù)方程移項、平方作和即可得到圓的普通方程．展開兩角和的余弦公式，代入x=ρcosθ，y=ρsinθ得直線的直角坐標方程；
（Ⅱ）曲線C₁的半徑為3，故所求曲線C₂與直線x+y=0平行，且與直線x+y=0相距

3

2

時符合題意．

解答： 解：（Ⅰ）曲線C₁的參數(shù)方程為

x=2-3sinα y=3cosα-2

，消去α可得（x-2）²+（y+2）²=9；
曲線C₂的極坐標方程為ρcos（θ-

π

4

）=

2

2

ρcosθ+

2

2

ρsinθ=a，
代入x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y=

2

a；
（Ⅱ）曲線C₁的半徑為3，故所求曲線C₂與直線x+y=0平行，且與直線x+y=0相距

3

2

時符合題意．
由

| 2 a|

2

=

3

2

，可得a=±

3

2

，
∴曲線C₂的直角坐標方程為x+y=±

3

2

2

．

點評：本題考查圓的參數(shù)方程化普通方程，考查直線的極坐標方程化直角坐標方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度中等．