Question

8．設x₁，x₂是方程x²-2mx+4m²-4m+1=0的兩個不等實根，
（Ⅰ）將x₁²+x₂²表示為m的函數(shù)g（m），并求其定義域；
（Ⅱ）設f（m）=$\frac{{m}^{2}}{g（m）-1}$，求f（m）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x₁，x₂是方程x²-2mx+4m²-4m+1=0的兩個不等實根，得到△＞0，則可求出m的取值范圍．
（Ⅱ）把g（m）=-4m²+8m-2代入f（m）=$\frac{{m}^{2}}{g（m）-1}$，再令$t=\frac{1}{m}∈（1，3）$，則f（m）的值域可求．

解答 解：（I）對于x²-2mx+4m²-4m+1=0，△＞0得（-2m）²-4×（4m²-4m+1）＞0即$m∈（\frac{1}{3}，1）$
$g（m）={{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}=-4{m}^{2}+8m-2$，其定義域為$（\frac{1}{3}，1）$．
（II）$f（m）=\frac{{m}^{2}}{-4{m}^{2}+8m-3}=\frac{1}{-4+\frac{8}{m}-\frac{3}{{m}^{2}}}$，
令$t=\frac{1}{m}∈（1，3）$則$f（m）=\frac{1}{-3{t}^{2}+8t-4}$，則f（m）的值域為$（-∞，-\frac{1}{7}）∪[\frac{4}{3}，+∞）$．

點評 本題考查了函數(shù)的定義域及其值域的求法，是基礎題．