Question

17．設(shè)命題p：x₁和x₂是方程x²-ax-2=0的兩個根，不等式|m-4|≤|x₁-x₂|對任意實數(shù)a∈[1，2]恒成立；命題Q：函數(shù)f（x）=3x²+2mx+m+$\frac{4}{3}$有兩個不同的零點．求使“P且Q”為真命題的實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出p，q成立的m的范圍，取交集即可．

解答 解：由題設(shè)x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，
∴$|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{{a^2}+8}$．
當(dāng)a∈[1，2]時，$\sqrt{{a^2}+8}$的最小值為3．
要使|m-4|≤|x₁-x₂|對任意實數(shù)a∈[1，2]恒成立，
只需||m-4|≤3，即1≤m≤7．--------------（3分）
由已知，得$f（x）=3{x^2}+2mx+m+\frac{4}{3}$的判別式：
$△=4{m^2}-12（{m+\frac{4}{3}}）=4{m^2}-12m-16＞0$，
得m＜-1或m＞4．----------------（6分）
綜上，要使“P∧Q”為真命題，
只需P真Q真，即$\left\{\begin{array}{l}1≤m≤7\\ m＜-1或m＞4\end{array}\right.$，-----------------（8分）
解得實數(shù)m的取值范圍是：（4，7]--------------------（10分）

點評 本題考查了復(fù)合命題的判斷，考查函數(shù)恒成立問題以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．