Question

已知定義在R 上的可導函數(shù)y=f（x）滿足：當x≤2時，f′（x）≤0；當x≥2時，f′（x）≥0．則下列結(jié)論：
①f′（2）=0；
②f（4）-f（3）≥0；
③f（

2

3

）-f（

1

3

）≤0；
④f（1）+f（3）≥2f（2）．
其中成立的個數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：導數(shù)的運算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由條件利用導數(shù)的符號可得可得函數(shù)f（x）在（-∞，2）上是減函數(shù)或常數(shù)函數(shù)、在（2，+∞）上是增函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，由此判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論

解答： 解：根據(jù)當x≤2時，f′（x）≤0；當x≥2時，f′（x）≥0，
可得函數(shù)f（x）在（-∞，2）上是減函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)或常數(shù)函數(shù)．
故x=2是函數(shù)的極小值點，故有①f′（2）=0成立；f（4）≥f（3），故②成立；
∴f（

2

3

）≤f（

1

3

），∴③成立；
再根據(jù)f（1）≥f（2）、f（3）≥f（2），可得④f（1）+f（3）≥2f（2）成立，
故選：D．

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．