Question

在平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=1，∠DAB=60°，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P從B→C→D（含端點(diǎn)），設(shè)∠PAB=α，記tanα=x，

AP

•

DM

=y，則函數(shù)y=f（x）的圖象大致為（　�。�

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用,函數(shù)的圖象,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：將向量

AD

，

AB

作為基底，然后借助于向量的加減法法則、數(shù)乘的幾何意義，把y=

AP

•

DM

，及tanα表示出來，則可以找到y(tǒng)與x的關(guān)系式，結(jié)合解析式可研究其性質(zhì)，作出判斷，注意x的范圍．

解答： 解：由已知得

DM

=

AM

-

AD

=

1

2

AB

-

AD

，
（1）當(dāng)P在BC上時(shí)，設(shè)

BP

=λ

BC

=λ

AD

，∴

AP

=

AB

+

BP

=

AB

+λ

AD

，（0≤λ≤1）
∴

AP

•

DM

=（

AB

+λ

AD

）•（

1

2

AB

-

AD

）=

1

2

AB

2+(

1

2

λ-1)

AB

•

AD

-λ

AD

2，
又∵AB=2，AD=1，∠DAB=60°，
∴y=

AP

•

DM

=

1

2

×4+(

1

2

λ-1)×2×1cos60°-λ×1=1-

1

2

λ①
而此時(shí)tanα=

λsin60°

2+λcos60°

=

3 2 λ

2+ 1 2 λ

=x，且x∈[0，

3

5

]，
∴λ=

4x

3 -x

代入①式得y=

3 -3x

3 -x

=3+

2 3

x- 3

，x∈[0，

3

5

]，
該函數(shù)在[0，

3

5

]是減函數(shù)，且其圖象是由反比例函數(shù)y=

2 3

x

的圖象先沿x軸向右平移

3

個(gè)單位，再沿y軸向上平移3個(gè)單位得到，
且當(dāng)x=0時(shí)，y=1；x=

3

5

時(shí)，y=

1

2

＞0，
結(jié)合圖象形狀及圖象過點(diǎn)（

3

5

，

1

2

）可知，只有A選項(xiàng)滿足．
故選A

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是引入中間量λ，然后把x用λ借助于三角函數(shù)的定義表示出來，再將λ用x表示出來代入y關(guān)于λ的表達(dá)式，得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)式研究其性質(zhì)．