Question

已知各項(xiàng)均大于1的數(shù)列{a_n}滿足：a1=

3

2

，an+1=

1

2

(an+

1

an

)（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{log5

an+1

an-1

}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求證：

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜n+

1

2

(n∈N*)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等比關(guān)系的確定,數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用等比數(shù)列的定義證明數(shù)列{log5

an+1

an-1

}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）先確定a_n=

52n-1+1

52n-1-1

，可得

an

an+1

=1+

2

52n-1+5-2n-1

＜1+

2

5n

，兩邊求和，即可證明結(jié)論．

解答： 證明：（Ⅰ）由題意，

an+1+1

an+1-1

=(

an+1

an-1

)2，
∴l(xiāng)og₅

an+1+1

an+1-1

=2log₅

an+1

an-1

，
∴數(shù)列{log5

an+1

an-1

}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知log₅

an+1

an-1

=2^n-1，
∴

an+1

an-1

=52n-1，
∴a_n=

52n-1+1

52n-1-1

．
∴

an

an+1

=1+

2

52n-1+5-2n-1

＜1+

2

5n

兩邊求和可得，不等式左邊＜n+

n

k=1

2

5k

=n+

1

2

（1-

1

5n

）＜n+

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．