Question

在n個(gè)人的班級(jí)中，選出m個(gè)人參加大掃除，其中k個(gè)人擦窗戶，其他人拖地板．現(xiàn)有兩種方法選擇人選：①先從班級(jí)中選出m人，現(xiàn)從他們當(dāng)中選出k個(gè)人擦窗戶．②先從班級(jí)中選出k個(gè)人擦窗戶，再?gòu)陌嗉?jí)剩下的人中選出m-k人拖地板．
（1）寫出每種方法中選人方案數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式．
（2）你認(rèn)為這兩種方法選人的方案數(shù)相等嗎？若相等，試證明之；若不相等請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用

專題：計(jì)算題,排列組合

分析：（1）根據(jù)題意，運(yùn)用分步計(jì)數(shù)原理分別求出兩種方法的選人方案數(shù)即可；
（2）要證明

C

m n

C

k m

=

C

k n

C

m-k n-k

，運(yùn)用組合數(shù)公式可以將左邊變形可得左邊=

n!

k!×(n-m)!×(m-k)!

，同理右邊也可變形為

n!

k!×(n-m)!×(m-k)!

，即可證明兩種方法選人的方案數(shù)相等．

解答： 解（1）對(duì)于第一種方法：先從班級(jí)中選出m人，有

C

m n

種方法，再?gòu)倪@m人中選出k個(gè)人擦窗戶，有

C

k m

種方法，則第一種方法的選人方案數(shù)為

C

m n

C

k m

；
對(duì)于第二種方法：先從班級(jí)中選出k個(gè)人擦窗戶，有

C

k n

種方法，再?gòu)陌嗉?jí)剩下的人中選出m-k人拖地板，有

C

m-k n-k

種方法，則第二種方法選人方案數(shù)為

C

k n

C

m-k n-k

；
故第一種方法的選人方案數(shù)為

C

m n

C

k m

；第二種方法選人方案數(shù)為

C

k n

C

m-k n-k

；
（2）這兩種方法的選人方案數(shù)相等，即

C

m n

C

k m

=

C

k n

C

m-k n-k

；
證明如下：
左邊=

n!

m!(n-m)!

×

m!

k!(m-k)!

=

n!

k!×(n-m)!×(m-k)!

；
右邊=

n!

k!(n-k)!

×

(n-k)!

(m-k)!(n-m)!

=

n!

k!×(n-m)!×(m-k)!

；
左邊=右邊；
即兩種方法選人的方案數(shù)相等．

點(diǎn)評(píng)：本題考查組合數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解組合的意義以及運(yùn)用組合數(shù)公式．