Question

如圖，等邊△ABC中，AB=3，O為中心，過O的直線交AB于M，交AC于N，設∠AOM=θ（0≤θ≤120°），當θ分別為何值時，

1

OM

+

1

ON

取得最大和最小值，并求出其最大和最小值．

Answer 1

考點：解三角形

專題：解三角形

分析：由正三角形的性質和中心O的性質可得AO，分別在△AMO和△ANO中利用正弦定理及三角函數的有關性質即可得出．

解答： 解：如圖所示，
∵點O是正△ABC的中心，AC=3．
∴AD═AC•sin60°=

3 3

2

，
AO=

2

3

AD=

2

3

×

3 3

2

=

3

．
在△AMO中，由正弦定理可得：

OM

sin∠OAM

=

AO

sin∠AMO

，
∵∠OAM=

π

6

，∴∠AMO=π-

π

6

-θ，
∴sin∠AMO=sin(π-

π

6

-θ)=sin(

π

6

+θ)．
∴OM=

AOsin∠OAM

sin∠AMO

=

3

2sin( π 6 +θ)

，
同理在△ANO中，由正弦定理可得：ON=

3

2sin(θ- π 6 )

，
后∴

1

OM

+

1

ON

=

2sin( π 6 +θ)

3

+

2sin(θ- π 6 )

3

=

4sinθ•cos π 6

3

=2sinθ．
∵0≤θ≤

2π

3

，由過O的直線交AB于M，交AC于N，
可得

π

3

≤θ≤

2π

3

，
因此當θ=

π

2

時，

1

OM

+

1

ON

取得最大值2．
當θ=

π

3

或

2π

3

時，

1

OM

+

1

ON

取得最小值

3

．

點評：本題考查了正三角形的性質和中心的性質、正弦定理及兩角和差的正弦公式、三角函數的單調性等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．