Question

【題目】 【2016高考新課標(biāo)Ⅲ文數(shù)】已知拋物線：的焦點(diǎn)為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn)．

（I）若在線段上，是的中點(diǎn)，證明；

（II）若的面積是的面積的兩倍，求中點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)出與軸垂直的兩條直線，然后得出的坐標(biāo)，然后通過證明直線與直線的斜率相等即可證明結(jié)果了；（Ⅱ）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用面積可求得，設(shè)出的中點(diǎn)，根據(jù)與軸是否垂直分兩種情況結(jié)合求解．

試題解析：由題設(shè).設(shè)，則，且

.

記過兩點(diǎn)的直線為，則的方程為. .....3分

（Ⅰ）由于在線段上，故.

記的斜率為，的斜率為，則，

所以. ......5分

（Ⅱ）設(shè)與軸的交點(diǎn)為，

則.

由題設(shè)可得，所以（舍去），.

設(shè)滿足條件的的中點(diǎn)為.

當(dāng)與軸不垂直時(shí)，由可得.

而，所以.

當(dāng)與軸垂直時(shí)，與重合，所以，所求軌跡方程為. ....12分