Question

設F₁、F₂是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，P是C上一點，若|PF₁|+|PF₂|=6a，且△PF₁F₂最小內角的大小為30°，則雙曲線C的漸近線方程是（　�。�

• A、x±

  2

  y=0
• B、

  2

  x±y=0
• C、x±2y=0
• D、2x±y=0

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設|PF₁|＞|PF₂|，由已知條件求出|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，e=

3

，進而求出b=

2

a，由此能求出雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線方程．

解答： 解：設|PF₁|＞|PF₂|，則|PF₁|-|PF₂|=2a，
又|PF₁|+|PF₂|=6a，解得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a．
則∠PF₁F₂是△PF₁F₂的最小內角為30°，
∴|PF2|²=|PF1|²+|F1F2|²-2|PF1|•|F1F2|cos30°，
∴（2a）²=（4a）²+（2c）²-2×4a×2c×

3

2

，
同時除以a²，化簡e²-2

3

e+3=0，
解得e=

3

，∴c=

3

a，
∴b=

3a2-a2

=

2

a，
∴雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線方程為y=±

b

a

x=±

2

x，
即

2

x±y=0．
故選：B．

點評：本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，要熟練掌握雙曲線的簡單性質．