Question

設函數(shù)f_n（x）=x-（3n-1）x²（其中n∈N^*），區(qū)間I_n={x|f_n（x）＞0}．
（Ⅰ）定義區(qū)間（α，β）的長度為β-α，求區(qū)間I_n的長度；
（Ⅱ）把區(qū)間I_n的長度記作數(shù)列{a_n}，令b_n=a_n•a_n+1，
（1）求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（2）是否存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由f_n（x）＞0，得x-（3n-1）x²＞0，解得0＜x＜

1

3n-1

，即可求區(qū)間I_n的長度；
（Ⅱ）求得{a_n}的通項公式，根據(jù)數(shù)列通項的特點可利用裂項求和法求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（2）假設存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列，建立等式關系，用m表示出n，再根據(jù)m∈N^*，m＞1，可求出所求．

解答： 解：（Ⅰ）由f_n（x）＞0，得x-（3n-1）x²＞0，解得0＜x＜

1

3n-1

，
所以區(qū)間的長度為

1

3n-1

-0=

1

3n-1

；        …3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=

1

3n-1

．
（1）∵b_n=a_n•a_n+1=

1

3

（

1

3n-1

-

1

3n+2

）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

3

[（

1

2

-

1

5

）+（

1

5

-

1

8

）+…（

1

3n-1

-

1

3n+2

）]=

n

2(3n+2)

   …6分
（2）由（1）知，T₁=

1

10

，T_m=

m

2(3m+2)

，T_n=

n

2(3n+2)

假設存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列，則T_m²=T₁T_n，
化簡得

m2

(3m+2)2

=

n

5(3n+2)

．
∴（-3m²+6m+2）n=5m² （*）
當m=2時，（*）式可化為2n=20，∴n=10．
當m≥3時，-3m²+6m+2=-3（m-1）²+5≤-7＜0．
又∵5m²＞0，∴（*）式可化為n=

5m2

-3m2+6m+2

＜0，
∴此時n無正整數(shù)解．
綜上可知，存在滿足條件的正整數(shù)m、n，此時m=2，n=10．…10分．

點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推關系，等比關系的確定以及裂項求和法的應用，同時考查了分析問題與解決問題的能力，屬于中檔題．