Question

5．當x→0時，下列四個無窮小階數(shù)最高的是（　　）

• A． e${\;}^{{x}^{4}-{x}^{3}}$-1
• B． cosx²-1
• C． $\sqrt{1+{x}^{2}}$-1
• D． tanx-sinx

Answer 1

分析 根據(jù)無窮小階數(shù)的定義，若$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）}{x^n}$=c（c≠0），則f（x）為n階無窮小量，再逐個確定各個函數(shù)的階數(shù)．

解答 解：根據(jù)無窮小階數(shù)的定義，若$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）}{x^n}$=c（c≠0），則f（x）為n階無窮小量，
對于A：$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x^4-x^3}-1}{x^3}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{x^2（4x-3）•{e}^{x^4-x^3}}{3x^2}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{（4x-3）{e}^{x^4-x^3}}{3}$=-1，
所以A選項的階數(shù)是3；
對于B：$\underset{lim}{x→0}$$\frac{cosx^2-1}{x^4}$=-$\underset{lim}{x→0}$$\frac{2x•sinx^2}{4x^3}$=-$\underset{lim}{x→0}$$\frac{sinx^2}{2x^2}$=-$\frac{1}{2}$，
所以B選項的階數(shù)是4；
對于C：$\underset{lim}{x→0}$$\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x^2}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}+1}$=$\frac{1}{2}$，
所以C選項的階數(shù)是2；
對于D：$\underset{lim}{x→0}$$\frac{tanx-sinx}{x^3}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{1-cos^3x}{3x^2cos^2x}$=$\underset{lim}{x→0}$=$\frac{1}{2}$•$\underset{lim}{x→0}$$\frac{sinx•cos^2x}{x•（cos^2x+xsinxcosx）}$=$\frac{1}{2}$，
所以D選項的階數(shù)是3；
因此，階數(shù)最高的是B選項，故選B．

點評 本題主要考查了極限及其運算，涉及無窮小量階數(shù)的求解，以及運用洛必達法則求函數(shù)極限，屬于中檔題．