Question

已知函數(shù)f（x）=|x+3|-m，m∈R，且f（x-2）≤0的解集為[-3，1]．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）已知a，b，c都是正數(shù)，且a+b+c=m，求證：

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

≥

9

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明,絕對(duì)值不等式的解法

專題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先將不等式化簡(jiǎn)，再利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，即可求m的值；
（Ⅱ）證明一：

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

=

1

2

(a+b+c)(

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

)，然后使用基本不等式，即可得出結(jié)論；證明二：

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

=

1

4

[(a+b)+(b+c)+(c+a)]•(

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

)，然后使用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：f（x-2）=|x-2+3|-m≤0，|x+1|≤m，
所以m≥0，且-m≤x+1≤m，…（1分）
所以-1-m≤x≤-1+m，又不等式的解集為[-3，1]，故m=2；…（3分）
（Ⅱ）證明一：

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

=

1

2

(a+b+c)(

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

)
=

1

4

[(a+b)+(b+c)+(c+a)](

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

)…（4分）≥

1

4

[

a+b

•

1

a+b

+

b+c

•

1

b+c

+

c+a

•

1

c+a

]2=

9

4

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=

2

3

時(shí)，等號(hào)成立．…（6分）
證明二：

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

=

1

4

[(a+b)+(b+c)+(c+a)]•(

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

)…（4分）≥

1

4

•3•

3	(a+b)•(b+c)•(c+a)

•3•

3	1 (a+b)•(b+c)•(c+a)

=

9

4

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=

2

3

時(shí)，等號(hào)成立．…（6分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．