【題目】已知函數(shù), ,且曲線處的切線方程為.

(1)求 的值;

(2)求函數(shù)上的最小值;

(3)證明:當(dāng)時, .

【答案】(1) (2) (3)見解析

【解析】試題分析:(1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),計算 ,求出a,b的值即可;

(2)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),得到導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,得到f(x)在[0,1]遞增,從而求出f(x)的最大值;

(3)只需證明x0時, ,因為,且曲線處的切線方程為,故可猜測:當(dāng)時, 的圖象恒在切線的上方.

試題解析:

(1)由題設(shè)得,

解得,

(2)由(1)知, ,

令函數(shù),,

當(dāng)時, , 遞減;

當(dāng)時, , 遞增;∴,即

∴當(dāng)時, ,且僅當(dāng),

上單調(diào)遞增,

;

(3)由題要證:當(dāng)時, ,

即證: ,

因為,且曲線處的切線方程為,

故可猜測:當(dāng)時, 的圖象恒在切線的上方.

下面證明:當(dāng)時, ,

證明:設(shè), ,

,令, ,

當(dāng)時, , 單調(diào)遞減;

當(dāng)時, , 單調(diào)遞增,

, ,

所以,存在,使得

當(dāng)時, ;當(dāng),

上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

,,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.

由(2)知, ,故,,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.

所以,

.所以, ,

成立,當(dāng)時等號成立.

故:當(dāng)時, , 12分

方法二:要證,等價于,又,可轉(zhuǎn)化為證明

,

,

,因此當(dāng)時, , 單調(diào)遞增;當(dāng)時, 單調(diào)遞減;

有最大值,即恒成立,即當(dāng)時,

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列滿足, ,其中, 為非零常數(shù).

(1)若, ,求證: 為等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;

(2)若數(shù)列是公差不等于零的等差數(shù)列.

①求實數(shù), 的值;

②數(shù)列的前項和構(gòu)成數(shù)列,從中取不同的四項按從小到大排列組成四項子數(shù)列.試問:是否存在首項為的四項子數(shù)列,使得該子數(shù)列中的所有項之和恰好為2017?若存在,求出所有滿足條件的四項子數(shù)列;若不存在,請說明理由.

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【題目】設(shè)函數(shù).

(1)當(dāng)時, 恒成立,求的范圍;

(2)若處的切線為,求的值.并證明當(dāng))時, .

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【題目】設(shè)數(shù)列的首項為,前項和為,若對任意的,均有是常數(shù)且)成立,則稱數(shù)列為“數(shù)列”.

(1)若數(shù)列為“數(shù)列”,求數(shù)列的通項公式;

(2)是否存在數(shù)列既是“數(shù)列”,也是“數(shù)列”?若存在,求出符合條件的數(shù)列的通項公式及對應(yīng)的的值;若不存在,請說明理由;

(3)若數(shù)列為“數(shù)列”, ,設(shè),證明: .

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【題目】已知拋物線 的焦點為,圓 ,過作垂直于軸的直線交拋物線兩點,且的面積為.

(1)求拋物線的方程和圓的方程;

(2)若直線均過坐標(biāo)原點,且互相垂直, 交拋物線,交圓, 交拋物線,交圓,求的面積比的最小值.

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【題目】2018天一大聯(lián)考高中畢業(yè)班階段性測試(四)已知函數(shù),

I)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍;

II)證明:對于任意正整數(shù),都有成立.

附:

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【題目】如圖,在多面體,底面是菱形, , 平面, , , .

(1)求證: ;

(2)求平面與平面所成銳角二面角的余弦值.

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【題目】隨著共享單車的成功運(yùn)營,更多的共享產(chǎn)品逐步走入大家的世界,共享汽車、共享籃球、共享充電寶等各種共享產(chǎn)品層出不窮.某公司隨機(jī)抽取1000人對共享產(chǎn)品是否對日常生活有益進(jìn)行了問卷調(diào)查,并對參與調(diào)查的1000人中的性別以及意見進(jìn)行了分類,得到的數(shù)據(jù)如下表所示:

總計

認(rèn)為共享產(chǎn)品對生活有益

400

300

700

認(rèn)為共享產(chǎn)品對生活無益

100

200

300

總計

500

500

1000

(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),能否在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為共享產(chǎn)品的態(tài)度與性別有關(guān)系?

(2)為了答謝參與問卷調(diào)查的人員,該公司對參與本次問卷調(diào)查的人員隨機(jī)發(fā)放1張超市的購物券,購物券金額以及發(fā)放的概率如下:

購物券金額

20元

50元

概率

現(xiàn)有甲、乙兩人領(lǐng)取了購物券,記兩人領(lǐng)取的購物券的總金額為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式:

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),在以為極點, 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線是圓心為,半徑為1的圓.

(1)求曲線 的直角坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)為曲線上的點, 為曲線上的點,求的取值范圍.

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