Question

10．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）長軸長為10，離心率為e=$\frac{3}{5}$．設(shè)直線l過橢圓的右焦點(diǎn)，且斜率為$\frac{4}{5}$，與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求直線l的方程；
（Ⅲ）求弦AB的長．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{2a=10}\\{\frac{c}{a}=\frac{3}{5}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（II）由（I）可得橢圓的右焦點(diǎn)F（3，0），利用點(diǎn)斜式可得：直線l的方程．
（III）直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為x²-3x-8=0，再利用弦長公式即可得出．

解答 解：（I）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{2a=10}\\{\frac{c}{a}=\frac{3}{5}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=5，b=4，c=3．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$．
（II）由（I）可得橢圓的右焦點(diǎn)F（3，0），
∴直線l的方程為y-0=$\frac{4}{5}$（x-3），化為4x-5y-12=0．
（III）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{4x-5y-12=0}\\{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1}\end{array}\right.$，化為x²-3x-8=0，
∴x₁+x₂=3，x₁x₂=-8．
∴|AB|=$\sqrt{[1+（\frac{4}{5}）^{2}][（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{\frac{41}{25}×[{3}^{2}-4×（-8）]}$=$\frac{41}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．