【題目】已知數(shù)列的前項和為,對于任意滿足,且,數(shù)列滿足,,其前項和為.
(1)求數(shù)列、的通項公式;
(2)令,數(shù)列的前項和為,求證:對于任意正整數(shù),都有;
(3)將數(shù)列、的項按照“當(dāng)為奇數(shù)時,放在前面”,“當(dāng)為偶數(shù)時,放在前面”的要求進行“交叉排列”得到一個新的數(shù)列:、、、、、、、、求這個新數(shù)列的前項和.
【答案】(1),;(2)證明見解析;(3).
【解析】
(1)由題意可知數(shù)列為等差數(shù)列,確定該數(shù)列的首項和公差,可求出數(shù)列的通項公式,可求出,再由可求出數(shù)列的通項公式,由等差中項法可知數(shù)列為等差數(shù)列,從而可得出數(shù)列為等比數(shù)列,且設(shè)該等比數(shù)列的公比為,結(jié)合題中條件求出和的值,即可求出數(shù)列的通項公式;
(2)利用錯位相減法求出數(shù)列的前項和,即可證明出;
(3)求出數(shù)列的前項和,對進行分類討論,利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式可得出.
(1)且,所以,數(shù)列是以為首項,以為公差的等差數(shù)列,,.
當(dāng)時,.
也適合上式,所以,.
,即,
所以,數(shù)列為等差數(shù)列,設(shè)其公差為,則,
,所以,數(shù)列是正項等比數(shù)列,設(shè)其公比為,則.
由題意可得,解得,
因此,;
(2),
,①
則,②
①②得,
化簡得;
(3)數(shù)列的前項和為,
數(shù)列的前項和為,
①當(dāng)時,;
②當(dāng)時,,
特別地,當(dāng)時,也適合上式;
③當(dāng)時,.
綜上所述,.
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【題目】已知函數(shù),若在定義域內(nèi)存在,使得成立,則稱為函數(shù)的局部對稱點.
(1)若、且,證明:函數(shù)必有局部對稱點;
(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有局部對稱點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù)在上有局部對稱點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知首項大于0的等差數(shù)列的公差,且;
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若數(shù)列滿足:,,,其中;
①求數(shù)列的通項;
②是否存在實數(shù),使得數(shù)列為等比數(shù)列?若存在,求出的值,若不存在,請說明理由;
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【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)),以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求曲線、的極坐標方程;
(2)射線:與曲線,分別交于點,(且點,均異于原點),當(dāng)時,求的最小值.
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【題目】給出四個函數(shù):①;②;③;④,從其中任選個,則事件:“所選個函數(shù)圖象有且僅有個公共點”的概率是________.
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【題目】如圖所示,某傳動裝置由兩個陀螺,組成,陀螺之間沒有滑動,每個陀螺都由具有公共軸的圓錐和圓柱兩個部分構(gòu)成,每個圓柱的底面半徑和高都是相應(yīng)圓錐底面半徑的,且,的軸相互垂直,它們相接觸的直線與的軸所成角,若陀螺中圓錐的底面半徑為();
(1)求陀螺的體積;
(2)當(dāng)陀螺轉(zhuǎn)動一圈時,陀螺中圓錐底面圓周上一點轉(zhuǎn)動到點,求與之間的距離;
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【題目】對于數(shù)列,若(是與無關(guān)的常數(shù),)則稱數(shù)列叫做“弱等差數(shù)列”已知數(shù)列滿足:且,對于恒成立,(其中都是常數(shù))
(1)求證:數(shù)列是“弱等差數(shù)列”,并求出數(shù)列的通項公式
(2)當(dāng)時,若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列,求的取值范圍
(3)若,且,數(shù)列滿足:,求
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【題目】已知點、、、(),都在函數(shù)(,)的圖像上;
(1)若數(shù)列是等差數(shù)列,求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)設(shè),函數(shù)的反函數(shù)為,若函數(shù)與函數(shù)的圖像有公共點,求證:在直線上;
(3)設(shè),(),過點、的直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為,問:數(shù)列是否存在最大項?若存在,求出最大項的值,若不存在,請說明理由;
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【題目】為了解某地區(qū)的“微信健步走”活動情況,現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取老、中、青三個年齡段人員進行問卷調(diào)查.已知抽取的樣本同時滿足以下三個條件:
(i)老年人的人數(shù)多于中年人的人數(shù);
(ii)中年人的人數(shù)多于青年人的人數(shù);
(iii)青年人的人數(shù)的兩倍多于老年人的人數(shù).
①若青年人的人數(shù)為4,則中年人的人數(shù)的最大值為___________.
②抽取的總?cè)藬?shù)的最小值為__________.
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