Question

在△ABC中，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|

CA

|²=|

CB

|²-2

AB

•

CP

，則P點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)△ABC的（　�。�

• A、外心
• B、內(nèi)心
• C、重心
• D、垂心

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：先將題設(shè)中的等式移項(xiàng)，利用|

CA

|²=

CA

²、|

CB

|²=

CB

²及平方差公式化簡(jiǎn)，再利用兩向量垂直的充要條件得到線段的位置關(guān)系，從而獲得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡．

解答： 解：由|

CA

|²=|

CB

|²-2

AB

•

CP

，
得|

CB

|²-|

CA

|²=2

AB

•

CP

，即

CB

²-

CA

²=2

AB

•

CP

，
從而（

CB

+

CA

）•（

CB

-

CA

）=2

AB

•

CP

，
∴（

CB

+

CA

）•

AB

=2

AB

•

CP

，
∴

AB

•(

CB

+

CA

-2

CP

)=0，
∵P為動(dòng)點(diǎn)，∴

CB

+

CA

-2

CP

≠

0

，
∴

AB

⊥(

CB

+

CA

-2

CP

)，
設(shè)M是AB中點(diǎn)，則

AB

⊥(2

CM

-2

CP

)，
∴

AB

⊥

PM

，
∴P在AB的垂直平分線上，
∴P點(diǎn)軌跡一定通過(guò)△ABC的外心．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：1．從求解過(guò)程可以看出，對(duì)于給出向量式，求解動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題，一般是先將向量式化為最簡(jiǎn)，再根據(jù)幾何圖形的特征探究動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)和各線段之間的聯(lián)系．應(yīng)注意兩點(diǎn)：
（1）應(yīng)熟練向量的加、減法運(yùn)算（尤其是三角形法則，平行四邊形法則），數(shù)乘運(yùn)算，數(shù)量積的運(yùn)算及性質(zhì)．
（2）充分利用已知中提供的圖形信息，如線段長(zhǎng)度相等，直角三角形，中點(diǎn)等，必要時(shí)可添加適當(dāng)?shù)妮o助線或點(diǎn)．
2．應(yīng)熟練掌握三角形各“心”的含義及性質(zhì)，如外心是三角形外接圓的圓心，即三邊垂直平分線的交點(diǎn)；內(nèi)心是三角形內(nèi)切圓的圓心，即三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)；重心是三邊中線的交點(diǎn)；垂心是三高線所在直線的交點(diǎn)．