Question

若P為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上異于長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的焦點(diǎn)，∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，求

a-b

a+b

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)∠PF₁F₂和∠PF₁F₂求得∠F₁PF₂，進(jìn)而根據(jù)正弦定理分別求得|PF₁|和|PF₂|，代入|PF₁|+|PF₂|=2a中求得a和c的關(guān)系，求得

b

a

=

1- cos2 α+β 2 cos2 α-β 2

，即可得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，
∵∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，
∴∠F₁PF₂=180°-α-β
∴sin∠F₁PF₂=sin（α+β）
由正弦定理可得

m

sinβ

=

2c

sin(α+β)

，

n

sinα

=

2c

sin(α+β)

∴m=

2csinβ

sin(α+β)

，n=

2csinα

sin(α+β)

根據(jù)橢圓的定義可知m+n=2a，
∴

c

a

=

cos α+β 2

cos α-β 2

，
∴

b

a

=

1- cos2 α+β 2 cos2 α-β 2

∴

a-b

a+b

=

1- 1- cos2 α+β 2 cos2 α-β 2

1+ 1- cos2 α+β 2 cos2 α-β 2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用及解三角形問題．解題的關(guān)鍵是充分利用橢圓的定義，找到三角形三邊的關(guān)系，進(jìn)而通過正弦定理和余弦定理轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的化簡．