Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且橢圓經(jīng)過點A（0，-1）
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）如果過點H（0，

3

5

）的直線與橢圓E交于M、N兩點（點M、N與點A不重合）．
①若△AMN是以MN為底邊的等腰三角形，求直線MN的方程；
②在y軸是否存在一點B，使得

BM

⊥

BN

，若存在求出點B的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件得

b=1 e= c a = 3 2 a2=b2+c2

，由此能求出曲線E的方程．
（Ⅱ）①設(shè)直線MN的方程為y=kx+

3

5

，把y=kx+

3

5

代入橢圓方程，得：（1+4k²）x²+

24

5

kx-

64

25

=0，若k=0，則P（0，

3

5

），滿足AP⊥MN，直線MN的方程為y=

3

5

；k≠0，則k_AP=-

20k2+8

12k

=-

1

k

，直線MN的方程為y=±

5

5

x+

3

5

，由此能求出直線MN的方程．
②假設(shè)存在點B（0，t），滿足

BM

⊥

BN

，

BM

=(x1，y1-t)，

BN

=(x2，y2-t)，由

BM

•

BN

=0，解得t=-1．從而推導出存在B（0，-1），使得

BM

⊥

BN

．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且橢圓經(jīng)過點A（0，-1），
∴

b=1 e= c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得a=2，b=1c=

3

，
∴曲線E的方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）①若過點H的直線斜率不存在，此時M，N兩點吸一個點與A點重合，不滿足題意，
∴直線MN的斜率存在，設(shè)其斜率為k，則MN的方程為y=kx+

3

5

，
把y=kx+

3

5

代入橢圓方程，得：
（1+4k²）x²+

24

5

kx-

64

25

=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點P（x₀，y₀），
則x1+x2=-

24k

5(1+4k2)

，x₁x₂=-

64

25(1+4k2)

，
x0=

x1+x2

2

=-

12k

5(1+4k2)

，y0=kx0+

3

5

=

3

5(1+4k2)

．
AP⊥MN，且P（-

12k

5(1+4k2)

，

3

5(1+4k2)

），
若k=0，則P（0，

3

5

），顯然滿足AP⊥MN，此時直線MN的方程為y=

3

5

；
k≠0，則k_AP=-

20k2+8

12k

=-

1

k

，解得k=±

5

5

，
∴直線MN的方程為y=±

5

5

x+

3

5

，
即

5

x-5y+3=0或

5

x+5y-3=0，
綜上所述：直線MN的方程為y=

3

5

或

5

x+5y-3=0．
②假設(shè)存在點B（0，t），滿足

BM

⊥

BN

，

BM

=(x1，y1-t)，

BN

=(x2，y2-t)，

BM

•

BN

=x₁x₂+y₁y₂-t（y₁+y₂）+t²
=-

64

25(1+4k2)

+

-100k2+9

25(1+4k2)

-

6t

5(1+4k2)

+t2
=

(100t2-100)k2+(25t2-30t-55)

25(1+4k2)

=0，
∴

100t2-100=0 25t2-30t-55=0

，解得t=-1．
∴存在B（0，-1），使得

BM

⊥

BN

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，考查使向量垂直的點是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．