Question

13．橢圓C₁的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩焦點(diǎn)分別為雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1的頂點(diǎn)，直x+$\sqrt{2}$y=0與橢圓C₁交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-$\sqrt{2}$，1），點(diǎn)P是橢圓C₁上異于點(diǎn)A，B的任意一點(diǎn)．
（1）求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求△ABP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）求出橢圓的焦點(diǎn)，結(jié)合A（-$\sqrt{2}$，1）在橢圓上，利用橢圓的定義，可得橢圓C₁的方程；
（2）由題意求出B的坐標(biāo)，設(shè)出與AB平行的直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式等于0求出橢圓的切線方程，得到P的坐標(biāo)，求出|AB|，由平行線間的距離公式求出P到直線AB的距離，代入三角形面積公式得答案．

解答 解：（1）雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1的頂點(diǎn)為F₁（-$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{2}$，0），
∴橢圓C₁的焦點(diǎn)為F₁（-$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{2}$，0），
∵橢圓過(guò)A（-$\sqrt{2}$，1），
∴2a=|AF₁|+|AF₂|=$\sqrt{（-\sqrt{2}+\sqrt{2}）^{2}+（1-0）^{2}}$$+\sqrt{（-\sqrt{2}-\sqrt{2}）^{2}+（1-0）^{2}}$=4，
∴a=2，
∴b=$\sqrt{4-2}=\sqrt{2}$．
則橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由題意，B（$\sqrt{2}$，-1），如圖，
設(shè)與直線x+$\sqrt{2}$y=0平行的直線方程為$x+\sqrt{2}y+m=0$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{2}y+m=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得：2x²+2mx+m²-4=0．
由△=4m²-8（m²-4）=0，解得m=$±2\sqrt{2}$．
∴與直線x+$\sqrt{2}$y=0平行且與橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$相切的直線方程為$x+\sqrt{2}y±2\sqrt{2}=0$．
此時(shí)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（$-\sqrt{2}，-1$）、P（$\sqrt{2}，1$）．
|AB|=$\sqrt{（-\sqrt{2}-\sqrt{2}）^{2}+（1+1）^{2}}=2\sqrt{3}$．
P到直線AB的距離d=$\frac{|2\sqrt{2}|}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∴△ABP面積的最大值S=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\frac{2\sqrt{6}}{3}=2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，有難度