Question

1．已知函數(shù)f（x）=|x-3|-|x+1|，命題p：關于x的不等式f（x）＞a對x∈R恒成立；命題q：函數(shù)y=x²-ax+4在區(qū)間[5，+∞）上單調遞增．
（1）解不等式f（x）≤0；
（2）若命題“p或q”是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不等式等價為|x-3|≤|x+1|，兩邊平方得（x-3）²≤（x+1）²，解出不等式即可；
（2）運用二次函數(shù)的性質和分段函數(shù)的最值求出相應a的范圍，再取并集即可．

解答 解：（1）由f（x）=|x-3|-|x+1|≤0得，
|x-3|≤|x+1|，兩邊平方得，
（x-3）²≤（x+1）²，解得x≥1，
所以，原不等式的解集為[1，+∞）；
（2）若命題p為真，則f（x）_min＞a，
而f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-4，x≥3}\\{2-2x，-1≤x＜3}\\{4，x＜-1}\end{array}\right.$，所以f（x）_min=-4，
因此，a＜-4；--------------①
若命題q為真，則二次函數(shù)圖象的對稱軸x=$\frac{a}{2}$≤5，
解得，a≤10，--------------②
根據(jù)題意，命題“p或q”為真，則只需�、佗诘牟⒓�，
即a∈（-∞，10]．

點評 本題主要考查了絕對值不等式的解法，二次函數(shù)的圖象和性質，以及復合命題真假的判斷，屬于中檔題．