Question

8．已知函數(shù)f（x）=${4}^{x-\frac{1}{2}}$-m•2^x-1（0≤x≤2）．
（1）若m=2，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）＞0對任意x∈[0，2]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令t=2^x（1≤t≤4），則g（t）=$\frac{1}{2}$t²-2t-1=$\frac{1}{2}$（t-2）²-3，討論對稱軸t=2與區(qū)間[1，4]的關(guān)系，可得最值；
（2）由題意可得m＜$\frac{{4}^{x-\frac{1}{2}}-1}{{2}^{x}}$在x∈[0，2]恒成立，令t=2^x（1≤t≤4），即有m＜$\frac{1}{2}$t-$\frac{1}{t}$的最小值，由單調(diào)性，可得最小值，進而得到m的范圍．

解答 解：（1）f（x）=${4}^{x-\frac{1}{2}}$-2•2^x-1（0≤x≤2），
令t=2^x（1≤t≤4），則g（t）=$\frac{1}{2}$t²-2t-1=$\frac{1}{2}$（t-2）²-3，
當t=2即x=1時，取得最小值，且為-3；
當t=4即x=2時，取得最大值，且為-1；
（2）f（x）＞0對任意x∈[0，2]恒成立，即為
m＜$\frac{{4}^{x-\frac{1}{2}}-1}{{2}^{x}}$在x∈[0，2]恒成立，
令t=2^x（1≤t≤4），即有m＜$\frac{1}{2}$t-$\frac{1}{t}$的最小值，
由$\frac{1}{2}$t-$\frac{1}{t}$在[1，4]遞增，可得t=1時，取得最小值-$\frac{1}{2}$，
則m＜-$\frac{1}{2}$，即m的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用換元法和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查二次函數(shù)的最值求法，同時考查不等式恒成立問題的解法．屬于中檔題．