【題目】已知橢圓C)的兩焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)圍成面積為12的正方形.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)我們稱圓心在橢圓上運(yùn)動(dòng),半徑為的圓是橢圓的“衛(wèi)星圓”.過(guò)原點(diǎn)O作橢圓C的“衛(wèi)星圓”的兩條切線,分別交橢圓CA、B兩點(diǎn),若直線、的斜率為、,當(dāng)時(shí),求此時(shí)“衛(wèi)星圓”的個(gè)數(shù).

【答案】(1);(2)8個(gè).

【解析】

(1)由條件可得,解出來(lái)即可;

(2) 設(shè)“衛(wèi)星圓”的圓心為,由定義可得“衛(wèi)星圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程為,求其圓心到直線,直線的距離,整理可轉(zhuǎn)化為、是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則,再加上,解方程即可.

(1)∵橢圓C的兩焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)圍成面積為12的正方形,

∴由橢圓的定義和正方形的性質(zhì),可得,

解得.

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)設(shè)“衛(wèi)星圓”的圓心為.

由“衛(wèi)星圓”的定義,可得“衛(wèi)星圓”的半徑為.

∴“衛(wèi)星圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

∵直線與“衛(wèi)星圓”相切,

則由點(diǎn)到直線的距離公式可,

化簡(jiǎn)得.

同理可得.

、是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

,由,得,

代入得,.

又∵“衛(wèi)星圓”的圓心在橢圓C上,

∴代入橢圓方程中,可得.

解得,

.

當(dāng)時(shí),;

當(dāng)時(shí),,

∴滿足條件的點(diǎn)8個(gè),

∴這樣“衛(wèi)星圓”存在8個(gè).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)平面平面.

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1)將上列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并請(qǐng)說(shuō)明在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)010的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡是否有關(guān)?

2)在使用移動(dòng)支付的人群中采用分層抽樣的方式抽取10人做進(jìn)一步的問(wèn)卷調(diào)查,從這10人隨機(jī)中選出3人頒發(fā)參與獎(jiǎng)勵(lì),設(shè)年齡都低于35歲(含35歲)的人數(shù)為,求的分布列及期望.

(參考公式:(其中

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【題目】已知橢圓的離心率為,短軸長(zhǎng)為

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

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【題目】甲同學(xué)參加化學(xué)競(jìng)賽初賽,考試分為筆試、口試、實(shí)驗(yàn)三個(gè)項(xiàng)目,各單項(xiàng)通過(guò)考試的概率依次為、,筆試、口試、實(shí)驗(yàn)通過(guò)考試分別記4分、2分、4分,沒(méi)通過(guò)的項(xiàng)目記0分,各項(xiàng)成績(jī)互不影響.

(Ⅰ)若規(guī)定總分不低于8分即可進(jìn)入復(fù)賽,求甲同學(xué)進(jìn)入復(fù)賽的概率;

(Ⅱ)記三個(gè)項(xiàng)目中通過(guò)考試的個(gè)數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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1)若,求實(shí)數(shù)的值;

2)當(dāng)時(shí),若四邊形的面積為12,試求直線的方程.

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