Question

13．若點(diǎn)P（2，4）為拋物線y²=2px上一點(diǎn)，則拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）若雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）經(jīng)過點(diǎn)P，且與拋物線共焦點(diǎn)，則雙物線的漸近線方程為y=$±\sqrt{2}x$．

Answer 1

分析 求出拋物線方程，即可求解拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；利用焦點(diǎn)坐標(biāo)相同，推出雙曲線a、b關(guān)系，求出a，b即可得到雙曲線的漸近線方程．

解答 解：點(diǎn)P（2，4）為拋物線y²=2px上一點(diǎn)，
可得：16=4p，解得p=4，
則拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）經(jīng)過點(diǎn)P，且與拋物線共焦點(diǎn)，
可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{{2}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{4}^{2}}{^{2}}=1\\{a}^{2}+^{2}=4\end{array}\right.$，可得a²=12-8$\sqrt{2}$，b²=8$\sqrt{2}-8$，
$\frac{a}=\sqrt{\frac{8\sqrt{2}-8}{12-8\sqrt{2}}}$=$\sqrt{2}$．
雙曲線的漸近線方程為：y=$±\sqrt{2}x$．
故答案為：（2，0）；y=$±\sqrt{2}x$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．