Question

已知函數f（x）=

ex- 1 2 x2+mx，x∈(-∞，0] lnx，x∈(0，+∞)

，g（x）=

1

2

ax²+bx（a≠0）（e為自然對數的底數）．
（Ⅰ）若函數f（x）的圖象在x=-1處的切線方程為y=

1

e

x+n，求m，n的值；
（Ⅱ）若a=-2時，函數h（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）內是增函數，求b的取值范圍；
（Ⅲ）當x＞0時，設函數f（x）的圖象C₁與函數g（x）的圖象C₂交于點P、Q，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點M、N，問是否存在點R，使C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究函數的單調性

專題：探究型,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求出f（x）在x＜0時的導數，從而得到在x=-1處的切線斜率，并求出切點，根據切點在切線上，得到一方程，及切線斜率為e^-1，得到另一個方程，求出m，n；
（Ⅱ）首先化簡a=-2時的函數h（x），根據函數h（x）在（0，+∞）內是增函數等價為h'（x）≥0在（0，+∞）內恒成立，通過分離參數，求出

1

x

+2x（x＞0）的最小值2

2

，令b不大于2

2

；
（Ⅲ）假設C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線平行，設出P，Q的坐標，求出中點R的橫坐標，分別求出C₁在點M處的切線斜率k₁與C₂在點N處的切線斜率k₂，令k₁=k₂，兩邊同時乘以x₂-x₁，整理得到∴ln

x2

x1

=

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

，構造函數r（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

（t＞1），應用導數說明r（t）在t＞1上單調遞增，從而r（t）＞r（1），即lnt＞

2(t-1)

t+1

，顯然矛盾，故假設不成立，即不存在．

解答： 解：（Ⅰ）當x＜0時，f（x）=e^x-

1

2

x²+mx，導數f'（x）=e^x-x+m，
∴f'（-1）=e^-1+1+m，
即函數f（x）的圖象在x=-1處的切線斜率為e^-1+1+m，
切點為（-1，e^-1-

1

2

-m），
∵函數f（x）的圖象在x=-1處的切線方程為y=

1

e

x+n，
∴e^-1+1+m=

1

e

，-

1

e

+n=e^-1-

1

2

-m，
∴m=-1，n=

2

e

+

1

2

；
（Ⅱ）a=-2時，函數h（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）的解析式是h（x）=lnx+x²-bx，
導數h'（x）=

1

x

+2x-b，
∵函數h（x）在（0，+∞）內是增函數，
∴h'（x）≥0即

1

x

+2x-b≥0在（0，+∞）內恒成立，
∴b≤（

1

x

+2x）_min，
∵x＞0時，

1

x

+2x≥2

1 x •2x

=2

2

，
∴b≤2

2

，
故b的取值范圍是（-∞，2

2

]；
（Ⅲ）假設C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線平行，
設點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂，
則由題意得點M、N的橫坐標與中點R的橫坐標相等，
且為x₀=

x1+x2

2

，
∵x＞0時，f'（x）=

1

x

，g'（x）=ax+b，
∴C₁在點M處的切線斜率為k₁=

1

x0

=

2

x1+x2

，
C₂在點N處的切線斜率為k₂=ax₀+b=

a(x1+x2)

2

+b，
由于兩切線平行，則k₁=k₂，
即

2

x1+x2

=

a(x1+x2)

2

+b，則兩邊同乘以（x₂-x₁），得

2(x2-x1)

x2+x1

=

a

2

(x22-x12)+b(x2-x1)
=（

a

2

x₂²+bx₂）-（

a

2

x₁²+bx₁）=y₂-y₁=lnx₂-lnx₁，
∴ln

x2

x1

=

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

，
設t=

x2

x1

，則lnt=

2(t-1)

t+1

，t＞1①，
令r（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，t＞1，
則r'（t）=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

，
∵t＞1，r'（t）＞0，
∴r（t）在（1，+∞）上單調遞增，
∴r（t）＞r（1）=0，
∴l(xiāng)nt＞

2(t-1)

t+1

，
這與①矛盾，假設不成立，
故C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行．

點評：本題主要考查導數在函數中的綜合應用：解決切線問題，判斷單調性及應用．考查探究性問題，構造函數通過求導應用單調性解決，考查靈活將式子變形的能力，有一定的難度．