Question

12．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為棱BB₁的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（　�。�

• A． B₁D∥平面MAC
• B． B₁D⊥平面A₁BC₁
• C． 二面角M-AC-B等于45°
• D． 異面直線BC₁與AC所形成的角等于60°

Answer 1

分析 連結(jié)BD，交AC于O，連結(jié)OM，則OM∥B₁D，由此得到B₁D∥平面MAC；由已知推導出A₁C₁⊥B₁D，BC₁⊥B₁D，從而B₁D⊥平面A₁BC₁；由AB=BC，AM=CM，O是AC的中點，得到∠MOB是二面角M-AC-B的平面角，由此能求出二面角M-AC-B的大小；由AC∥A₁C₁，得∠A₁C₁B是異面直線BC₁與AC所形成的角，由此能求出異面直線BC₁與AC所形成的角的大�。�

解答 解：連結(jié)BD，交AC于O，連結(jié)OM，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，ABCD是正方形，∴O是BD中點，
∵M為棱BB₁的中點，∴OM∥B₁D，
∵B₁D?平面MAC，OM?平面MAC，
∴B₁D∥平面MAC，故A正確；
∵A₁C₁⊥B₁D₁，A₁C₁⊥DD₁，B₁D₁∩DD₁=D₁，
∴A₁C₁⊥平面B₁DD₁，∴A₁C₁⊥B₁D，
同理，BC₁⊥B₁D，
又A₁C₁∩BC₁=C₁，∴B₁D⊥平面A₁BC₁，故B正確；
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長為2，
∵BM⊥平面ABCD，∴AB=BC=2，AM=CM=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，
O是AC的中點，OB=$\frac{1}{2}BD$=$\sqrt{2}$，
∴∠MOB是二面角M-AC-B的平面角，
∴tan$∠MOB=\frac{MB}{OB}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$∠MOB=arctan\frac{\sqrt{2}}{2}$，故C錯誤；
∵AC∥A₁C₁，∴∠A₁C₁B是異面直線BC₁與AC所形成的角，
∵A₁B=BC₁=A₁C₁，∴∠A₁CB₁=60°，
∴異面直線BC₁與AC所形成的角等于60°，故D正確．
故選：C．

點評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意正方體的結(jié)構(gòu)特征的合理運用．