Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點(diǎn)．
（1）若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）點(diǎn)M在線段PC上，PM=

1

3

PC，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）由題設(shè)條件推導(dǎo)出PQ⊥AD，BQ⊥AD，從而得到AD⊥平面PQB，由此能夠證明平面PQB⊥平面PAD．
（2）以Q這坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以QA，QB，QP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角M-BQ-C的大小．

解答： 解：（1）證明：由題意知：PQ⊥AD，BQ⊥AD，PQ∩BQ=Q，
∴AD⊥平面PQB，
又∵AD?平面PAD，
∴平面PQB⊥平面PAD．
（2）∵PA=PD=AD，Q為AD的中點(diǎn)，
∴PQ⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD，
以Q這坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以QA，QB，QP為x，y，z軸，
建立如圖所求的空間直角坐標(biāo)系，
由題意知：Q（0，0，0），A（1，0，0），
P（0，0，

3

），B（0，

3

，0），C（-2，

3

，0）
∴

QM

=

2

3

QP

+

1

3

QC

=（-

2

3

，

3

3

，

2 3

3

），
設(shè)

n1

是平面MBQ的一個(gè)法向量，則

n1

•

QM

=0，

n1

•

QB

=0，
∴

- 2 3 x+ 3 3 y+ 2 3 3 z=0 3 y=0

，∴

n1

=(

3

，0，1)，
又∵

n2

=(0，0，1)平面BQC的一個(gè)法向量，
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

1

2

，
∴二面角M-BQ-C的大小是60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．