如圖，圓錐頂點為P，其母線與底面所成的角為60°，AB過底面圓心O點，且∠CBA=60°．
（Ⅰ）試在圓0上找一點D，使得BD與平面PAC平行；
（Ⅱ）二選一：（兩題都做，按第一題的解答給分）
    ①求直線PB與面PAC所成的角的正弦值
    ②二面角B-PA-C的正弦值．
考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題
專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（Ⅰ）D點是C點關(guān)于O點的對稱點．證明DB∥AC，可得BD與平面PAC平行；
（Ⅱ）①利用VP-ABC=VB-APC，求出dB=
OP•S△ABC
S△PAC
，從而可求直線PB與面PAC所成的角的正弦值；
②取PA中點H，連BH，則BH⊥PA，從而可求二面角B-PA-C的正弦值．
解答： 解：（Ⅰ）D點是C點關(guān)于O點的對稱點．
證明如下：連DA、DB，由條件可得ABCD是矩形，
則DB∥AC，
因為AC?面PAC，BD?面PAC，
所以BD∥面PAC…（5分）
（Ⅱ）①不妨設(shè)OA=R，則PA=PB=PC=2R．
由條件可知PO⊥面ABC，
在△PAC中，PA=PC=2R，AC=
3
R，則△PAC面積為
39
4
R2，
又S△ABC=
3
R2
2
|OP|=
3
R
因為VP-ABC=VB-APC，所以dB=
OP•S△ABC
S△PAC
=
2
39
13
R…（4分）
設(shè)直線PB與面PAC所成的角大小為θ，則sinθ=
dB
|PB|
=
39
13

②取PA中點H，連BH，則BH⊥PA…（4分）
設(shè)二面角B-PA-C的大小為θ，sinθ=
dB
|PH|
=
2
13
13
…（4分）．
點評：本題考查線面平行，考查線面角，面面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若不等式
x2-8x+20
mx2-mx-1
＜0對?x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，△PAB和△PAD是兩個邊長為2的正三角形．DC=4，PD⊥PB，點E在線段CD上．
（Ⅰ）當
DE
EC
為何值時，AE⊥面PBD：
（Ⅱ）求直線CB與平面PDC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點E在棱AB上移動．
（1）求異面直線D1E與A1D所成角．
（2）AE等于何值時，二面角D1-EC-D的大小為
π
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點M恰好是AC中點，又PA=AB=4，∠CDA=120°．
（1）求證：BD⊥PC；
（2）設(shè)E為PC的中點，點F在線段AB上，若直線EF∥平面PAD，求AF的長；
（3）求二面角A-PC-B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC，PC的中點．
（1）證明：AE⊥平面PAD；
（2）若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為
3
，求二面角E-AF-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點．
（1）若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）點M在線段PC上，PM=
1
3
PC，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：
x2
16
-
y2
b2
=1(b＞0)的兩個焦點，P是雙曲線C上一點，若∠F1PF2=90°且△PF1F2的面積為9，則C的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列命題：
（1）若
a
•
b
=
a
•
c
，則
b
=
c
；
（2）對空間任意點O與不共線的三點A，B，C，若
OP
=x
OA
+y
OB
+z
OC
（x，y，z∈R），則P，A，B，C四點共面；
（3）“曲線C上的點的坐標都是方程f（x，y）=0的解”是“曲線C的方程是f（x，y）=0”的必要條件；
（4）（
c
•
b
）
a
-（
a
•
c
）
b
與
c
垂直．
寫出以上命題為真命題的序號
 
．

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同步練習(xí)冊答案