Question

設數(shù)列{a_n}是首項a₁=1的等比數(shù)列，若{

1

2an+an+1

}是等差數(shù)列，則(

1

2a1

+

1

a2

）+(

1

2a2

+

1

a3

）+…+(

1

2a2012

+

1

a2013

）的值為

 

．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件推導出2a_n+a_n+1=3，由此能求出（

1

2a1

+

1

a2

）+（

1

2a2

+

1

a3

）+…+（

1

2a2012

+

1

a2013

）的值．

解答： 解：設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，a₁=1，
∴an=qn-1，
∴

1

2an+an+1

=

1

2qn-1+qn

，
∵{

1

2an+an+1

}是等差數(shù)列，
∴2×

1

2q2-1+q2

=

1

2q1-1+q

+

1

2q3-1+q3

，
整理，得q²-2q+1=0，解得q=1，
∴an=1n-1=1，
∴2a_n+a_n+1=3，
∴（

1

2a1

+

1

a2

）+（

1

2a2

+

1

a3

）+…+（

1

2a2012

+

1

a2013

）
=

3 2 + 3 2 + 3 2 +…+ 3 2

2012個

=

3

2

×2012
=3018．
故答案為：3018．

點評：本題考查等差數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的靈活運用．