Question

已知y=f（x）是關(guān)于x的二次函數(shù)，且f（-

3

2

+x）=f（-

3

2

-x），f（-

3

2

）=49，其函數(shù)圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離等于7，求二次函數(shù)y=f（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知可確定函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程，頂點(diǎn)坐標(biāo)及與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，代入可求出函數(shù)的解析式．

解答： 解：∵y=f（x）是關(guān)于x的二次函數(shù)，且f（-

3

2

+x）=f（-

3

2

-x），
故函數(shù)圖象關(guān)于直線x=-

3

2

對(duì)稱(chēng)，
又∵f（-

3

2

）=49，
故可設(shè)f（x）=a（x+

3

2

）²+49，
又∵函數(shù)圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離等于7，
故點(diǎn)（-5，0），（2，0）在f（x）圖象上．
∴f（2）=a（2+

3

2

）²+49=0，
解得a=-4，
∴f（x）=-4x²-12x+40．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．