Question

如圖所示，在四棱錐V-ABCD中，底面四邊形ABCD是邊長為4的菱形，并且∠BAD=120°，VA=3，VA⊥底面ABCD，O是AC、BD的交點，OE⊥VC于E．求：
（1）點V到CD的距離；
（2）異面直線VC與BD的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）取CD的中點F，連結AF、VF，證明VF為點V到CD的距離，即可求得結論；
（2）證明OE是異面直線BD和VC的公垂線段，利用三角形的相似，即可求出異面直線VC與BD的距離．

解答： 解：（1）由已知∠BAD=120°，∴∠ADC=60°．
∴△ACD是正三角形，
取CD的中點F，連結AF、VF，則CD⊥AF．
又VA⊥面ABCD，
∴CD⊥VF（三垂線定理）．
∴VF為點V到CD的距離．
∵AD=4，∴AF=2

3

，
∴VF=

VA2+AF2

=

9+12

=

21

．
故點V到CD的距離等于

21

．
（2）∵底面四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．
又VA⊥底面ABCD，∴VA⊥BD．
∴BD⊥面VAC，∴BD⊥OE．
由已知OE⊥VC，∴OE是異面直線BD和VC的公垂線段．
由（1）可知OC=

1

2

AC=2，VC=

VA2+AC2

=

32+42

=5，
∵△CEO∽△CAV，∴

OE

VA

=

OC

VC

．
∴OE=

6

5

．
∴異面直線VC與BD的距離是

6

5

．

點評：本題考查點到線的距離的計算，考查異面直線的距離，正確找出空間距離是關鍵．